Achar a área do quadrado.

Cinco círculos de 1cm de raio são interiores ao quadrado. Um deles tem o mesmo centro que o quadrado e cada um dos demais tangencia o primeiro círculo e dois lados consecutivos do quadrado. Achar a área do quadrado.

Drufox escreveu:Cinco círculos de 1cm de raio são interiores ao quadrado. Um deles tem o mesmo centro que o quadrado e cada um dos demais tangencia o primeiro círculo e dois lados consecutivos do quadrado. Achar a área do quadrado.

Boa tarde,

Desenhando-se um quadrado e traçando sobre sua diagonal 3 círculos tangentes entre si, de maneira que tanto o primeiro como o último tangenciem 2 lados do quadrado, temos:

Diâmetro de cada círculo = 2 * 1cm = 2 cm.

Diagonal = 3 * 2 cm os dois cantos (superior esquerdo e inferior direito) entre o quadrado e os círculos superior esquerdo e inferior direito.

Desenhando-se agora um quadrado de 2 cm de lado, circunscrito a um círculo de 1 cm de raio (=2 cm de diâmetro), vamos calcular a medida desses "cantos", dispostos na diagonal desse pequeno quadrado:

Diagonal do quadrado = 2cm * √2.
Diâmetro do círculo = 2cm.
Sobra p/os cantos = (2√2 - 2) cm = extensão dos 2 cantos na diagonal do quadrado.

Diagonal do quadrado original = 2cm + 2cm + 2cm + (2√2-2) cm = (4 + 2√2) cm

Logo, o lado desse quadrado deverá medir:
D/√2 = (4 + 2√2)/√2 = (4 + 2√2)(√2)/(√2*√2) = (4√2 + 4)/2 = (2√2 + 2) cm

E, por conseguinte, sua área deverá ser igual a:
A = L² = (2√2 + 2)² = 8 + 8√2 + 4 = (12 + 8√2) cm²





Um abraço.