(ITA-1963) No circuito ao lado, E é um gerador de f.e.m

Boa noite. Quando a chave k está aberta há apenas uma malha com Ra e Rp em série, logo:
[latex] I = \frac{E}{R_p + R_a} [/latex]
Quando a chave k é fechada, Ra e R ficam em paralelo. Para descobrir a corrente que passa por Ra podemos encontrar a resistência equivalente, depois a  corrente total, e por fim fazer um divisor de corrente.
Calculando a resistência equivalente:
[latex] R_{eq}=R_p + \frac{R.R_a}{R + R_a}=\frac{R(R_p + R_a) + R_pR_a}{R + R_a} [/latex]
Corrente total:
[latex] i = \frac{E}{R_{eq}}=\frac{E}{\frac{R(R_p + R_a) + R_pR_a}{R + R_a}}=\frac{E(R+R_a)}{R(R_p + R_a) + R_pR_a} [/latex]
Divisor de corrente:
[latex] \frac{I}{2}=\frac{R}{R+R_a}.i\rightarrow \frac{I}{2} =\frac{R}{R+R_a}.\frac{E(R+R_a)}{R(R_p + R_a) + R_pR_a} \\
\frac{I}{2}=\frac{RE}{R(R_p + R_a) + R_pR_a} [/latex]
Substituindo o valor de I:
[latex] \frac{E}{2(R_p + R_a)}=\frac{RE}{R(R_p + R_a) + R_pR_a} \rightarrow R(R_p + R_a) + R_pR_a=2R(R_p + R_a) \\
\rightarrow R(R_p+R_a)=R_pR_a \therefore R = \frac{R_pR_a}{R_p + R_a} [/latex]