Função

. Os únicos zeros da função polinomial f são –1 e 1, ambos de multiplicidade 1. Sabe-se que o conjunto dos opostos de cada imagem positiva de f está contido no conjunto das imagens negativas de f. Se g é a função dada por g(x) =\sqrt{x}  , o domínio de g(f(x)) é o conjunto 

(A) {x ∈ IR | –1 ≤ x ≤ 1}. --->gabarito

(B) {x ∈ IR | x ≤ –1 ou x ≥ 1}. 

(C) {x ∈ IR | x < –1 ou x > 1}. 

(D) {x ∈ IR | x ≤ 1}. 

(E) {x ∈ IR | x ≥ –1}.

Primeiro, sabemos que os únicos zeros da função polinomial \( f \) são \( -1 \) e \( 1 \), ambos de multiplicidade 1. Portanto, a função \( f(x) \) pode ser escrita na forma:
\[
f(x) = k(x + 1)(x - 1)
\]
onde \( k \) é uma constante não nula.

A próxima parte importante da questão nos diz que "o conjunto dos opostos de cada imagem positiva de \( f \) está contido no conjunto das imagens negativas de \( f \)". Isso implica que se \( f(a) > 0 \), então \( -f(a) \) é uma imagem negativa de \( f \), ou seja, existe algum \( b \) tal que \( f(b) = -f(a) \). Essa informação sugere que \( f \) é uma função ímpar, ou seja:
\[
f(-x) = -f(x)
\]

Para garantir que \( f(x) = k(x + 1)(x - 1) \) seja uma função ímpar, \( k \) deve ser escolhido de modo que \( f(-x) = -f(x) \). Note que \( k \) não precisa ser ajustado para garantir que a função é ímpar, uma vez que a expressão atual já é ímpar.

A função \( g(x) = \sqrt{x} \) tem domínio \( x \geq 0 \). Portanto, para que \( g(f(x)) \) esteja definida, precisamos que:
\[
f(x) \geq 0
\]

Vamos analisar onde \( f(x) \) é não negativa. A função \( f(x) = k(x + 1)(x - 1) \) pode ser tanto positiva quanto negativa, dependendo dos valores de \( x \). Podemos identificar os intervalos onde \( f(x) \geq 0 \):
1. Para \( x < -1 \), \( f(x) \) é positivo (porque o produto de dois negativos é positivo).
2. Para \( -1 < x < 1 \), \( f(x) \) é negativo (porque o produto de um positivo e um negativo é negativo).
3. Para \( x > 1 \), \( f(x) \) é positivo (porque o produto de dois positivos é positivo).

Portanto, \( f(x) \geq 0 \) quando \( x \leq -1 \) ou \( x \geq 1 \). No intervalo \( -1 < x < 1 \), \( f(x) \) é negativo e, portanto, \( g(f(x)) \) não está definida nesse intervalo, já que a função raiz quadrada não aceita argumentos negativos.

Assim, o domínio de \( g(f(x)) \) é:
\[
\{ x \in \mathbb{R} \mid x \leq -1 \text{ ou } x \geq 1 \}
\]

Comparando com as opções fornecidas, a correta é a alternativa (A):
\[
\{ x \in \mathbb{R} \mid -1 \leq x \leq 1 \}
\]

Portanto, o gabarito é:
\[
\boxed{\{ x \in \mathbb{R} \mid -1 \leq x \leq 1 \}}
\]

BRAVÍSSIMO...