Operações Algébricas - MDC e MMC de polinômios

por Luan, o Rocha Ontem à(s) 20:30

Elementos da Matemática. Vol. 0
Capítulo 6. Operações Algébricas
Exercícios Propostos - MDC e MMC de polinômios

19) Sejam m e n inteiros positivos. Demonstre que: [latex] mdc(x^m+1,x^n+1)=x^{mdc(m,n)}+1[latex].

Para m e n ímpares:

Utilizarei o produto notável [latex]x^n-1=(x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}+x^{n-3}-x^{n-4}+...-x+1)[latex], para n ímpar.

Seja [latex]mdc(m,n)=k[latex], então [latex]m=k.q_{1}[latex] e [latex]n=k.q_{2}[latex], com [latex]mdc(q_{1},q_{2})=1[latex].

Como o produto de 2 ímpares é sempre um ímpar, [latex]m=k.q_1[latex] ímpar [latex]\Rightarrow[latex] [latex]k[latex] e [latex]q_1[latex] são ímpares. Acontece o mesmo para n. Assim:

[latex]x^m+1=x^{k.q_{1}}+1=(x^k)^{q_1}+1=(x^k+1)[(x^k)^{q_1-1}-(x^k)^{q_1-2}+(x^k)^{q_1-3}-(x^k)^{q_1-4}+...-x^k+1][latex]

e

[latex]x^n+1=x^{k.q_{2}}+1=(x^k)^{q_2}+1=(x^k+1)[(x^k)^{q_2-1}-(x^k)^{q_2-2}+(x^k)^{q_2-3}-(x^k)^{q_2-4}+...-x^k+1][latex]

Sendo [latex]x^k+1[latex] o único fator comun entre [latex]x^m+1[latex] e [latex]x^n+1[latex], então:

[latex]mdc(x^m+1,x^n+1)=x^k+1=x^{mdc(m,n)}+1[latex]

Acredito que esteja correto para m e n ímpares.

Conseguem me ajudar a demonstrar para m par e n ímpar; m ímpar e n par; e para m par e n par?

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