FFCLUSP-67 (Questões de Vest. FME 9)

Dados dois segmentos AC e BC e um ângulo B, é possível construir-se um único triângulo que tenha lados AC e BC, quando:
a) AC > BC
b) B < π/2
c) AC < BC
d) AC = BC/2
e) Nenhuma das afirmações anteriores é verdadeira.

Gabarito: A

Não entendi o gabarito, é perfeitamente possível montar um triângulo ABC com AC < BC...

Considera o ponto B no plano, constrói a reta BC (marca o ponto C). O ângulo B é uma abertura a partir de B, ou seja, uma semirreta que passe por B. Uma imagem assim:



O ponto A deve estar à distância AC de C => está nessa cincunferência de raio C e raio AC. Eu deixei alguns exemplos disso:


Os pontos A estão tanto na semirreta BA como na circunferência, isto é, na intersecção deles. Se o raio for demasiadamente pequeno, não vai haver qualquer intersecção, então é impossível construir (verde). Existe, então, um valor de raio mínimo (azul), existindo um único triângulo. Se rmín < AC < BC (laranja), nota que eu crio sempre dois triângulos. Por fim, quando o raio é maior que BC, eu já não consigo cortar a semirreta duas vezes, então é necessariamente só um triângulo. Essa ideia é boa pra resolver uma questão objetiva, mas vamos analisar mais algebricamente. Seja AC = x, vale a lei do cosseno:

AC² = x² + BC² - 2xBCcosB <=> x² - (2BCcosB)x + (BC² - AC²) = x
Quando o discriminante for negativo, equivale ao raio ser pequeno. Se for nulo, é o raio mínimo. Queremos que seja positivo e que uma das raízes seja negativa (seria como se a segunda intersecção fosse no prolongamento da semirreta, ou seja, inválido)
=> 4BC²cos²B - 4BC² + 4AC² > 0 <=> AC² > BC²(1 - cos²B) = BC²sen²B <=> AC > BCsenB
Para uma raiz negativa e a outra positiva, o produto é negativo => BC² - AC² < 0 <=> AC² > BC² <=> AC > BC. Como 0 < senB < 1 no intervalo, BC > BCsenB, então é bastante que AC > BC para isso ocorrer.