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Raízes de equações

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Raízes de equações Empty Raízes de equações

Mensagem por wadekly Qua 22 maio 2024, 01:19

Vejam que grande mistério:

 Sejam p, q, r as raízes distintas da equação x^3 – 2x^2 + x – 2 = 0. A soma dos quadrados dessas raízes é igual a 

a) 1 
b) 2 
c) 4
d) 8
e) 9



O gabarito é B... Mas, é um enigma para mim: porque não pode ser a alternativa C...?! Alguma luz po gentileza...!!

wadekly
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Raízes de equações Empty Re: Raízes de equações

Mensagem por Elcioschin Qua 22 maio 2024, 08:34

x³ - 2.x² + x - 2 = 0

x².(x - 2) + 1.(x - 2) = 0

(x² + 1).(x - 2) = 0 ---> Raízes

a) x² + 1 = 0 ---> x² = - 1 --> x' = +i ---> x" = -i

b) x - 2 = 0 ---> x = 2

x² + (x')² + (x")² = 2² + (+i)² + (-2.i)² = 4 - 1 - 1 = 2
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Raízes de equações Empty Re: Raízes de equações

Mensagem por Pupilo Qua 22 maio 2024, 23:19

Designemos o polinômio como: [latex]p(x)=x^3-2x^2+x-2[/latex] e suas raízes como: [latex]x[/latex],[latex]x{}'[/latex],[latex]x{}''[/latex]


Além disso, sabemos das relações de girard que: 


(i) [latex]x+x{{}}'+x{}''= \frac{-b}{a}[/latex]
(ii)[latex]xx{}'+x{}'x{}''+xx{}''=\frac{+c}{a}[/latex]
(iii)[latex]x.x{}'x{}''=\frac{-d}{a}[/latex]
Portanto, elevemos ambos os lados da equação (i) ao quadrado:
 [latex](x+x{}' +x{}'')^2 = (\frac{-b}{a})^2[/latex]

[latex](x^2+x{}'^2 +x{}''^2)+ 2(xx{}'+ xx{}''+ x{}'x{}'') = (\frac{-b}{a})^2 [/latex]

[latex](x^2+x{}'^2 +x{}''^2) = (\frac{-b}{a})^2 - 2(xx{}'+ xx{}''+ x{}'x{}'') [/latex] substituindo em (ii)

[latex](x^2+x{}'^2 +x{}''^2) = (\frac{-b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a})[/latex]

[latex](x^2+x{}'^2 +x{}''^2) = (\frac{+2}{1})^2 - 2(\frac{1}{1})[/latex]

[latex](x^2+x{}'^2 +x{}''^2) = +4 - 2.1[/latex]

[latex](x^2+x{}'^2 +x{}''^2) = 2[/latex]. 
 Portanto, gabarito B.
Pupilo
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