Raízes de equações
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Raízes de equações
por wadekly Qua 22 maio 2024, 01:19
Vejam que grande mistério:
Sejam p, q, r as raízes distintas da equação x^3 – 2x^2 + x – 2 = 0. A soma dos quadrados dessas raízes é igual a
a) 1
b) 2
c) 4
d) 8
e) 9
O gabarito é B... Mas, é um enigma para mim: porque não pode ser a alternativa C...?! Alguma luz po gentileza...!!
Sejam p, q, r as raízes distintas da equação x^3 – 2x^2 + x – 2 = 0. A soma dos quadrados dessas raízes é igual a
a) 1
b) 2
c) 4
d) 8
e) 9
O gabarito é B... Mas, é um enigma para mim: porque não pode ser a alternativa C...?! Alguma luz po gentileza...!!
wadekly- Padawan
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Re: Raízes de equações
por Elcioschin Qua 22 maio 2024, 08:34
x³ - 2.x² + x - 2 = 0
x².(x - 2) + 1.(x - 2) = 0
(x² + 1).(x - 2) = 0 ---> Raízes
a) x² + 1 = 0 ---> x² = - 1 --> x' = +i ---> x" = -i
b) x - 2 = 0 ---> x = 2
x² + (x')² + (x")² = 2² + (+i)² + (-2.i)² = 4 - 1 - 1 = 2
x².(x - 2) + 1.(x - 2) = 0
(x² + 1).(x - 2) = 0 ---> Raízes
a) x² + 1 = 0 ---> x² = - 1 --> x' = +i ---> x" = -i
b) x - 2 = 0 ---> x = 2
x² + (x')² + (x")² = 2² + (+i)² + (-2.i)² = 4 - 1 - 1 = 2
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Raízes de equações
por Pupilo Qua 22 maio 2024, 23:19
Designemos o polinômio como: [latex]p(x)=x^3-2x^2+x-2[/latex] e suas raízes como: [latex]x[/latex],[latex]x{}'[/latex],[latex]x{}''[/latex]
Além disso, sabemos das relações de girard que:
(i) [latex]x+x{{}}'+x{}''= \frac{-b}{a}[/latex]
(ii)[latex]xx{}'+x{}'x{}''+xx{}''=\frac{+c}{a}[/latex]
(iii)[latex]x.x{}'x{}''=\frac{-d}{a}[/latex]
Portanto, elevemos ambos os lados da equação (i) ao quadrado:
[latex](x+x{}' +x{}'')^2 = (\frac{-b}{a})^2[/latex]
[latex](x^2+x{}'^2 +x{}''^2)+ 2(xx{}'+ xx{}''+ x{}'x{}'') = (\frac{-b}{a})^2 [/latex]
[latex](x^2+x{}'^2 +x{}''^2) = (\frac{-b}{a})^2 - 2(xx{}'+ xx{}''+ x{}'x{}'') [/latex] substituindo em (ii)
[latex](x^2+x{}'^2 +x{}''^2) = (\frac{-b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a})[/latex]
[latex](x^2+x{}'^2 +x{}''^2) = (\frac{+2}{1})^2 - 2(\frac{1}{1})[/latex]
[latex](x^2+x{}'^2 +x{}''^2) = +4 - 2.1[/latex]
[latex](x^2+x{}'^2 +x{}''^2) = 2[/latex].
Portanto, gabarito B.
Além disso, sabemos das relações de girard que:
(i) [latex]x+x{{}}'+x{}''= \frac{-b}{a}[/latex]
(ii)[latex]xx{}'+x{}'x{}''+xx{}''=\frac{+c}{a}[/latex]
(iii)[latex]x.x{}'x{}''=\frac{-d}{a}[/latex]
Portanto, elevemos ambos os lados da equação (i) ao quadrado:
[latex](x+x{}' +x{}'')^2 = (\frac{-b}{a})^2[/latex]
[latex](x^2+x{}'^2 +x{}''^2)+ 2(xx{}'+ xx{}''+ x{}'x{}'') = (\frac{-b}{a})^2 [/latex]
[latex](x^2+x{}'^2 +x{}''^2) = (\frac{-b}{a})^2 - 2(xx{}'+ xx{}''+ x{}'x{}'') [/latex] substituindo em (ii)
[latex](x^2+x{}'^2 +x{}''^2) = (\frac{-b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a})[/latex]
[latex](x^2+x{}'^2 +x{}''^2) = (\frac{+2}{1})^2 - 2(\frac{1}{1})[/latex]
[latex](x^2+x{}'^2 +x{}''^2) = +4 - 2.1[/latex]
[latex](x^2+x{}'^2 +x{}''^2) = 2[/latex].
Portanto, gabarito B.
Pupilo- Iniciante
- Mensagens : 6
Data de inscrição : 28/02/2024
Localização : SP-Brasil
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