Dúvida com lógica de fatoração.

por ChaosTheory Ter 29 Nov 2011, 20:49

Boa noite a todos.

Depois de analisar vários tipos de fatoração, como fator em evidência, trinômio quadrado perfeito etc., fiquei em dúvida em como fatorar expressões como:
x^4 + x² + 1

Digo, já achei a resolução do exercício na rede, mas minha dúvida é: como se desenvolve o raciocínio para se fatorar um polinômio como este? Não achei nenhum tópico na rede que falasse da fatotação desse tipo, ou seja, adição e subtração de termos.

Agradeço a atenção de todos.

por **Euclides** Ter 29 Nov 2011, 21:03

É, meu caro ChaosTheory,

a álgebra requer muita vivência (digamos, uma certa "malandragem"). Nem para tudo há regras. No caso dessa expressão é preciso enxergar que quase há um trinômio quadrado perfeito lá...

$x^4+2x^2+1=(x^2+1)^2$

então fazemos arranjos para isso

$x^4+2x^2+1{\color{Red} -x^2}=(x^2+1)^2-x^2$

e caímos numa diferença de dois quadrados.

por **Adam Zunoeta** Ter 29 Nov 2011, 21:36

x^4 + x² + 1=(x^4+x³+x²)-x³-x²-x+x²+x+1

x³(x-1)+x²(x-1)+x(x-1)+(1+x+x²)

x(x-1)(1+x+x²)+(1+x+x²)

(1+x+x²)[x(x-1)+1]

(1+x+x²)(x²-x+1)

Fonte:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4+%2B+x%C2%B2+%2B+1

Digo, já achei a resolução do exercício na rede, mas minha dúvida é: como se desenvolve o raciocínio para se fatorar um polinômio como este? Não achei nenhum tópico na rede que falasse da fatotação desse tipo, ou seja, adição e subtração de termos.

Fazendo bastante exercícios
Very Happy