Lei dos senos

Abel está em dúvida sobre qual modelo de câmera de segurança usar em sua residência. Após procurar todas as opções disponíveis no mercado ele encontrou dois modelos que atendem à sua demanda:

Ao analisar as duas opções, ele constatou que se escolher a câmera B irá perder alguns detalhes de imagem, mas poderá registrar em vídeo uma área maior. Assim, para testar as câmeras, Abel apontou, de uma mesma distância, as duas câmeras perpendicularmente a um muro extenso, conforme ilustração a seguir:



Ao final do teste, as duas câmeras conseguiram captar somente imagens de parte do muro, sendo LA e LB os comprimentos do muro captados pelas câmeras A e B, respectivamente. Considerando esta situação, quanto vale a razão La/Lb? 


A) 2 raiz de 3 /3    B)raiz de 3/ 3    C)raiz de 3     D) 2 raiz de 3 

Gabarito: C

Gabarito errado.

Seja h a distância das câmeras ao muro. É igual para as duas. Trace h para as duas projeções luminosas.

A projeção de A forma um triângulo equilátero que h divide em dois triângulos retângulos 30°-60°-90°. Aplicando a lei dos senos em um deles, temos
A)  h/sen60° = (La/2)/sen30°  -----> h = Lá.√3/2  ......... (1)

A  projeção de B forma um triângulo reto isósceles que h divide também bem dois triângulos retos isósceles 45°-45°-90°. Aplicando a lei dos senos em um deles, temos
B)  h/sen45° = (Lb/2)/sen45°  ----->  h = Lb/2  .......... (2)

(1) = (2)  --->  La.√3/2 = Lb/2  ----->  La/Lb = √3/3 = ~58%