Conceitos iniciais sobre funções
4 participantes
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Conceitos iniciais sobre funções
Segue uma questão para treinar. Posto a resolução em breve.
Utilizando-se apenas conceitos do ensino médio, determine o domínio e a imagem da função racional adiante sendo esta função uma função real.
[latex]\mathrm{P(x)=\frac{x}{x^2 +1}}[/latex]
Nota: o enunciado não está muito técnico, pois já tem tempo que vi esta questão, daí já não me lembro de como era o enunciado original.
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7614
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: Conceitos iniciais sobre funções
Algumas dicas para quem for tentar:
1) O denominador nunca será nulo
2) Para x = 0 ---> P(0) = 0
3) Teste valores para x ---> ± 1/2, ±1, ±2
4) Dividindo numerador e denominador por x:
P(x) = 1/(x + 1/x) --> O que acontece com P(x) quando x tende a -∞ e +∞ ?
1) O denominador nunca será nulo
2) Para x = 0 ---> P(0) = 0
3) Teste valores para x ---> ± 1/2, ±1, ±2
4) Dividindo numerador e denominador por x:
P(x) = 1/(x + 1/x) --> O que acontece com P(x) quando x tende a -∞ e +∞ ?
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71687
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: Conceitos iniciais sobre funções
Vou tentar.
Dom(f) => x^2 + 1 =/= 0 -> x =/= mais ou menos 1. Logo, Dom(f) = R - {1,-1}. Não há restrições pro numerador.
Im(f) seguirá o mesmo raciocínio, y = x/(x^2+1) , a expressão sempre dará um valor real desde que x seja diferente de +-1. Logo, a imagem é a mesma que o dom(f), que é conjunto dos Reais menos o 1 e -1.
Dom(f) => x^2 + 1 =/= 0 -> x =/= mais ou menos 1. Logo, Dom(f) = R - {1,-1}. Não há restrições pro numerador.
Im(f) seguirá o mesmo raciocínio, y = x/(x^2+1) , a expressão sempre dará um valor real desde que x seja diferente de +-1. Logo, a imagem é a mesma que o dom(f), que é conjunto dos Reais menos o 1 e -1.
Pliniao- Padawan
- Mensagens : 59
Data de inscrição : 22/01/2023
Localização : Minas Gerais
Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: Conceitos iniciais sobre funções
Uma possível ideia:
Como x²+1≠0 ∀ x ∈ ℝ ⇒ D(P(x))=ℝ.
Agora, como a função \(f(y)=tan(y)\) atinge qualquer valor real, podemos utilizar a parametrização \(x(\theta)=tan(\theta)\;\; \theta \neq \frac{\pi}{2} \pm k\pi\). Logo, a função parametrizada se torna:
\[P(x(\theta))=\frac{tan(\theta)}{1+tan^2(\theta)}=\frac{tan(\theta)}{sec^2(\theta)}=sin(\theta)cos(\theta)\]
\[\Rightarrow P(x(\theta))=\frac{sin(2\theta)}{2}\]
\[\therefore \fbox{$\frac{-1}{2}\leq P(x) \leq \frac{1}{2}$}\]
Portanto, \(D_{P(x)}=\mathbb{R}\;\;\wedge \;\; I_{P(x)}=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}] \).
Como x²+1≠0 ∀ x ∈ ℝ ⇒ D(P(x))=ℝ.
Agora, como a função \(f(y)=tan(y)\) atinge qualquer valor real, podemos utilizar a parametrização \(x(\theta)=tan(\theta)\;\; \theta \neq \frac{\pi}{2} \pm k\pi\). Logo, a função parametrizada se torna:
\[P(x(\theta))=\frac{tan(\theta)}{1+tan^2(\theta)}=\frac{tan(\theta)}{sec^2(\theta)}=sin(\theta)cos(\theta)\]
\[\Rightarrow P(x(\theta))=\frac{sin(2\theta)}{2}\]
\[\therefore \fbox{$\frac{-1}{2}\leq P(x) \leq \frac{1}{2}$}\]
Portanto, \(D_{P(x)}=\mathbb{R}\;\;\wedge \;\; I_{P(x)}=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}] \).
____________________________________________
Cha-la head-cha-la
Vitor Ahcor- Monitor
- Mensagens : 750
Data de inscrição : 21/12/2018
Idade : 23
Localização : São José dos Campos
Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: Conceitos iniciais sobre funções
Um outro jeito:
[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=\frac{x}{x^2+1}\to yx^2+y-x=0}\\\\ \mathrm{\ Sendo\ y\neq 0\ e\ y\in \mathbb{R},logo, para\ que\ y\in \mathbb{R}\to \Delta \geq 0}\\\\ \mathrm{Deste\ modo:\Delta =(-1)^2-(4)\cdot (y)\cdot y\geq 0\ \therefore\ y^2\leq \frac{1}{4}}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \sqrt{y^2}\leq \sqrt{\frac{1}{4}}\to |y|\leq \frac{1}{2}\ \therefore\ -\frac{1}{2}\leq y=f(x)\leq \frac{1}{2}}\\\\ \mathrm{Note\ que\ se\ x=0\ tem-se\ y=0\ \therefore\ y=0\in \left [ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right ]}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ Deste\ modo\ Im(f)=\left \{ y\in \mathbb{R}\ |\ -\frac{1}{2}\leq y\leq \frac{1}{2} \right \}}[/latex]
[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=\frac{x}{x^2+1}\to yx^2+y-x=0}\\\\ \mathrm{\ Sendo\ y\neq 0\ e\ y\in \mathbb{R},logo, para\ que\ y\in \mathbb{R}\to \Delta \geq 0}\\\\ \mathrm{Deste\ modo:\Delta =(-1)^2-(4)\cdot (y)\cdot y\geq 0\ \therefore\ y^2\leq \frac{1}{4}}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \sqrt{y^2}\leq \sqrt{\frac{1}{4}}\to |y|\leq \frac{1}{2}\ \therefore\ -\frac{1}{2}\leq y=f(x)\leq \frac{1}{2}}\\\\ \mathrm{Note\ que\ se\ x=0\ tem-se\ y=0\ \therefore\ y=0\in \left [ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right ]}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ Deste\ modo\ Im(f)=\left \{ y\in \mathbb{R}\ |\ -\frac{1}{2}\leq y\leq \frac{1}{2} \right \}}[/latex]
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7614
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Vitor Ahcor gosta desta mensagem
Re: Conceitos iniciais sobre funções
Muito obrigada aos que tentaram resolver.
Indico uma outra resolução sem ser por parametrização.
A resolução não é minha e também não sei de quem que é. Lembro desta questão dos tempos que eu estudava para os vestibulares. Acho esta questão bem bonitinha.
Indico uma outra resolução sem ser por parametrização.
A resolução não é minha e também não sei de quem que é. Lembro desta questão dos tempos que eu estudava para os vestibulares. Acho esta questão bem bonitinha.
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 7614
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Tópicos semelhantes
» Sobre funções
» Duvida sobre funções
» Problema do ITA sobre funções?
» UNIFAP - Questão sobre funções
» Questão sobre funções
» Duvida sobre funções
» Problema do ITA sobre funções?
» UNIFAP - Questão sobre funções
» Questão sobre funções
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
|
|