Equação do segundo grau

Determine os valores poss´ıveis para m de modo que a equac¸ao ( m−2)x ^2−2mx+2m−3 = 0 tenha duas ra´ızes reais, tais que −1 < x1 < 4 < x2 . 

Gabarito: m=3

Boa tarde Jair, bem-vindo ao fórum. Pelas regras do fórum as questões devem ser postadas em modo texto, e caso saiba o gabarito, ele deve ser postado também. Se puder editar o post para se adequar as regras, para que então alguém possa lhe ajudar.

Boa tarde.
Teremos que fazer a seguinte análise:
I) Duas raízes distintas: ∆ > 0;
II) Valor 4 entre as duas raízes: a.f(4) < 0;
III) Valor -1 à esquerda das raízes: a.f(-1) > 0;
Fazendo cada item:
I)
[latex] \Delta > 0 \rightarrow ( -2m )^2 -4( m-2 )( 2m-3 ) > 0
-m^2 + 7m - 6 > 0 \therefore 1 < m < 6 \:\: (I)
[/latex]
II)
[latex] a.f(4 )<0 \rightarrow (m-2 )( 16m-32-8m+2m-3 ) < 0
(m-2 )(10m-35)<0 \therefore 2 < m < 3,5 \:\: (II) [/latex]
III)
[latex] a.f(-1)>0 \rightarrow (m-2)(m-2+2m+2m-3)>0
(m-2)(5m-5)>0 \therefore m < 1 \:\: ou \:\:m>2 \:\: (III) [/latex]
Fazendo a intersecção:
[latex] I \cap II \cap III = 2 < m < 3,5 [/latex]
Ou seja, para que a equação atenda aos requisitos pedidos, m deve estar entre 2 e 3,5.
Sabe se o gabarito está correto? Ou talvez se foi pedido apenas valores inteiros de m.
É possível ver pelo geogebra abaixo que valores de m entre 2 e 3,5 satisfazem o que foi pedido, variando o valor de m na barrinha. Coloquei os valores -1 e 4 em vermelho para ter uma visualização mais fácil.