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por phBorges_32 Dom 12 maio 2024, 09:04
Se ω ≠ 1 é a raiz cúbica da unidade e (1 + ω)7 = A + Bω, então A e B são, respectivamente:
(A) 0 e 1.
(B) 1 e 0.
(C) 1 e 1.
(D) -1 e 1.
(E) -1 e-1.
(A) 0 e 1.
(B) 1 e 0.
(C) 1 e 1.
(D) -1 e 1.
(E) -1 e-1.
phBorges_32- Iniciante
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Re: (ITA)
por JaquesFranco Dom 12 maio 2024, 10:03
Sabendo que
[latex]1 + cis\theta = 2cis(\dfrac{\theta}{2})cos(\dfrac{\theta}{2})[/latex]
Fazendo
[latex]w = cis\dfrac{2\pi}{3}[/latex]
Temos:
[latex](1 + cis\dfrac{2\pi}{3})^7 = 2^7cis(\dfrac{7\pi}{3})cos^7(\dfrac{\pi}{3}) = cis(\dfrac{7\pi}{3}) = cis(\dfrac{\pi}{3})[/latex]
Portanto,
[latex](1 + cis\dfrac{2\pi}{3})^7 = cis\dfrac{\pi}{3} = A + B(cis\dfrac{2\pi}{3}) \Rightarrow \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i = A + B(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i) \Rightarrow A = B = 1[/latex]
[latex]1 + cis\theta = 2cis(\dfrac{\theta}{2})cos(\dfrac{\theta}{2})[/latex]
Fazendo
[latex]w = cis\dfrac{2\pi}{3}[/latex]
Temos:
[latex](1 + cis\dfrac{2\pi}{3})^7 = 2^7cis(\dfrac{7\pi}{3})cos^7(\dfrac{\pi}{3}) = cis(\dfrac{7\pi}{3}) = cis(\dfrac{\pi}{3})[/latex]
Portanto,
[latex](1 + cis\dfrac{2\pi}{3})^7 = cis\dfrac{\pi}{3} = A + B(cis\dfrac{2\pi}{3}) \Rightarrow \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i = A + B(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i) \Rightarrow A = B = 1[/latex]
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Re: (ITA)
por Giovana Martins Dom 12 maio 2024, 10:05
\[\mathrm{\omega ^3=1\to (\omega -1)(\omega ^2+\omega +1)=0\ \therefore\ \omega = \left (0,-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i \right )} \]
\[\mathrm{\therefore\ \omega+1 = \left (1,\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i \right )} \]
\[\mathrm{Pela\ forma\ trigonom\acute{e}trica\ z =a+bi=\left | z \right |cis(\theta )}\]
\[\mathrm{Para\ \omega+1=1\ \therefore\ \omega+1=cis(0)}\]
\[\mathrm{Para\ \omega+1=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\ \therefore\ \omega +1=cis\left ( \frac{5\pi }{3} \right )}\]
\[\mathrm{Para\ \omega+1=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\ \therefore\ \omega +1=cis\left ( \frac{\pi }{3} \right )}\]
\[\mathrm{Por\ De\ Moivre:z ^n=\left | z \right |^{n}cis(n\theta )}\]
\[\mathrm{Sendo\ \omega +1=cis(0)\ \therefore\ (\omega +1)^7=cis(7\cdot 0)=1=A+B\omega=A+B\ \therefore\ A+B=1\ (i)}\]
\[\mathrm{Sendo\ \omega +1=cis\left ( \frac{5\pi}{3} \right )\ \therefore\ (\omega +1)^7=cis\left ( \frac{35\pi}{3} \right )=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=A+B\left ( \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i \right )\ \therefore\ (A,B)=(0,1)}\]
\[\mathrm{Sendo\ \omega +1=cis\left ( \frac{\pi}{3} \right )\ \therefore\ (\omega +1)^7=cis\left ( \frac{7\pi}{3} \right )=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=A+B\left ( \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i \right )\ \therefore\ (A,B)=(0,1)}\]
\[\mathrm{Sendo\ (A,B)=(0,1)\ de\ (i),\ certamente\ conclui-se\ que\ (A,B)=(0,1).}\]
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Re: (ITA)
por Giovana Martins Dom 12 maio 2024, 10:10
JaquesFranco escreveu:Sabendo que[latex]1 + cis\theta = 2cis(\dfrac{\theta}{2})cos(\dfrac{\theta}{2})[/latex]Fazendo[latex]w = cis\dfrac{2\pi}{3}[/latex]Temos:[latex](1 + cis\dfrac{2\pi}{3})^7 = 2^7cis(\dfrac{7\pi}{3})cos^7(\dfrac{\pi}{3}) = cis(\dfrac{7\pi}{3}) = cis(\dfrac{\pi}{3})[/latex]Portanto,[latex](1 + cis\dfrac{2\pi}{3})^7 = cis\dfrac{\pi}{3} = A + B(cis\dfrac{2\pi}{3}) \Rightarrow \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i = A + B(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i) \Rightarrow A = B = 1[/latex]
Bom dia, Jaques.
Postei a minha resolução, pois eu já havia digitado.
Vi que minha resolução diverge da sua. Pode ser que minha resolução esteja incorreta, pois não a revisei.
À tarde eu verifico caso ninguém verifique antes.
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Re: (ITA)
por Giovana Martins Dom 12 maio 2024, 10:13
Já verifiquei. Errei continha! Em breve eu ajusto.
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Re: (ITA)
por DaoSeek Seg 03 Jun 2024, 16:51
ω é uma raiz cubica da unidade, logo satisfaz a equação ω³ = 1.
Fatorando isso ficamos com (ω-1)(ω²+ω+1) = 0.
Visto que ω não é 1, segue que ω² + ω + 1 = 0.
Ou seja, ω+1 = -ω². Com isso fica fácil:
(1+ω)7 = (-ω2)7 = -ω14 = -(ω3)4ω2 = -ω2 = 1+ω
Fatorando isso ficamos com (ω-1)(ω²+ω+1) = 0.
Visto que ω não é 1, segue que ω² + ω + 1 = 0.
Ou seja, ω+1 = -ω². Com isso fica fácil:
(1+ω)7 = (-ω2)7 = -ω14 = -(ω3)4ω2 = -ω2 = 1+ω
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