Potenciação com números grandes

Não achei muito no YouTube, mas como é melhor jeito de resolver operações grandes como 2014^2014?

Geralmente, esses cálculos com números mastodônticos não são feitos explicitamente, a não ser que haja alguma fatoração/simplificação que possa ser feita algebricamente. No entanto, se você estiver em busca do valor de um resto, a operação torna-se viável. Veja o exemplo:

Qual o resto de 7^100 por 48 ?

7²≡1 mod48 (49 deixa resto 1 por 48)

Elevando a 50 ambos os lados:

7¹⁰⁰ ≡ 1 mod48

Não sei se respondi à sua dúvida, mas se tiver alguma questão em mente, por favor, poste-a. Talvez eu ou algum colega do fórum possamos te ajudar.

A questão era 2014^2014 dividido por 20. Não vi uma maneira de simplificar, por isso achei que haveria uma forma de realizar esse cálculo, mas posso só não ter tido a visão.

Certo, irei assumir que você conhece a teoria de congruência modular e um pouquinho de indução. Se não entender alguma etapa, por favor, pergunte.

2014≡14 mod20

⇒2014²≡196mod20≡16mod20

⇒2014⁴ ≡ 256mod20≡16 mod 20

⇒2014⁶ ≡ 256mod20≡16 mod 20

Vamos por indução:

Hipótese: 2014^2k ≡ 16 mod 20

⇒ 2014^2k+1 ≡ 16*2014 mod 20 ≡ 4mod20
⇒ 2014^2(k+1) ≡ 16 mod20

Logo, por indução, provou-se que 2014^2k ≡ 16 mod 20 para todo k∈ℕ, em especial 2014²⁰¹⁴ ≡ 16 mod 20.

Ou seja, o resto pedido é 16.

Usando um computador, normalmente.

2014^2014= 2375554301912629376781815290091589908268773876093022677592577622250841828573470741038377645194865468031518584452820334821317923468523484107726398819205209084701729316568893755869971161726717358147168897742727455916097864246550799829375231644282945096931492606818468572019347552539196120370733831728565876107311570879615010631336577542601717020923265310837901566232545460295024924660961676602177746381563670596369039632925537608415529133673184787129559975731173952361145462336620427265652466075359408886240776361068315988354787336037530337462245063227110087009521490679010877889613484452891672016624431337518486018514001176003264516099752835112524522053490918008028298331098214148760048067609130806798727711829462850051887835141350510634317546431225926286615235115362731923666697226815951648494301119121224422708604757120137104693130588236993560089333435247114901960117764768616365759654073915076619624193258010956171069386411488234200332494165496323077058608524208878989141129931522397855140068486844598271517021295233426942237098662495029271599255264208192201804934664326235402973797909454757493268969638589448522347402181859898703776567428954048271316843636684584451516302500829888323792524028655167688923852493507238926938868567261843962404988955002499153640488475947413560425381416585712822511413900957673567534355679028459406612139865513438270691272576210068045628594407849081274470342164105394208429446172364037132532576683991800765313303366772780862143982725452609654423408526404110412659886330890909356303557735176931817535316646578293000630114404355223571262027291991422305613019300004320028525893926940664826269566688171437625539055082188764565795330506827069071023397609367439904374287879206545813638732411012307923127269739099689901166810734683953163670940723131635416729664052457846473673967655756023182715080493434556546819328267665744495318976699227070401628061960549232981188734366940471448156702209497149532834661366770570603519088957338743879039365397084017275078208788189251819633604505361588032546415696457688685225257706247830768591179389934823230739418127469851724241319823960324640636614548793303297050338881555419299675668987069087795674333497393213034152715366512256825157838472938603542413666110536488586439165662076553022814357331676876500065004446447187971784235906388016687363133304471657671510939182884959575965737717182513561945119768042620983174301137950369513034531474073439751887527818233268876498157602951261570042028634633302878113028016815791358972627937878477395224749530560339009510871375323401525639711523319005436677662630732487802596054519442354611717668711291921954326519089916541681443137043050157967850546520367207857848382488959979021700593239233822358848518488740232253830734972818618160407436295718755974719775939957161975393715116786471119552674052036192387765972704679726940092863507162997115689563763407907319168379432102168366203230767504268192656203882813976214021274995199774572752608643989458385260075353390889203735902187570658431104283901663738516543415163305036810529598893648015690103493010541046533047816831949038547430937164258267107801593947388716401040385730801316642169190187575148372027915408788525535968961749377639803208909689823861234258267471138294789066878425601971817248146061422253930739079785346248085157640072881986531004982980306180701715494189893800498778972550444168520317547256619361447724440581015384014621572717850274415208378759449414205636503822048873067063578105162610956196658543396817302017322174767704737640626777336384126039538531627437229842963663464394503327702082741977055281799088264734569636556701962114819178577794085774617433709314337016216375010886482947387487634465158423500392469176023604372114538105683012259300209235759275722029828143643426439816509447315646205913609665754479804571542204055167571734891251608205346688524399261875450641481892898688701260028504957876918701085039885348393550786062229668849835161820963762850118534972023680208495918670543372878700322825687794130155045890541565861358907704865016060931067365183783975530907146592004171311963066637584486903321546799868491768293417619878466837706043683387553502714923427015592257641136005205153945436575078119465438015961015137601781003536001112688173001149883911271750400146391536869906041209031795973333245788028199765753845104475569429858626245278771358970196375577507293766512564752246152672050814243397872379209218263275227640056742509957310444012376376029354071285411790216977387456463707377054431829898706258749992264938644777015510155572463985456589081466225871095043412622473869176764710138925149088058732882544709184050863865738330371846956102290767127202748780265060514429778763587848062894718897987566363001198517054133819642329619880391910761898433358241958635202511602430739804040270563443072625518560980730279180383122819722034602024435775959974973077254437075134812154863701549450144718505880396349758462749397148812744412659043809535486008351764467264721588649289046009139185310452256551243459819967512084138854633200217413898346655972891098192478827217812669664501238909511708617059009875455458987206138197171536062510910853581554823920121832297287868583255768223623844891251781844641117385854585354956633663924162971456646146297846886017093516862574139553237312640765424800178375524779527780616312385112940972913094348047965434635789249496277930196101817379758984479935324656783003104145117097410290938850677543744634951476678558950226665757330168704599244670214869138017918447677890328363847548736003934203185708939195909036827608813702677100558584328464019722456339718046186002937260250867043330935806380715852153077718476308257502977123849420829144326827056399142679136661117628919831993251153611940966625730243478804688086595930890805686293530301506618003150421863335731324585450266746962244962668910347128309617936180405911641574248166518661401362726327641010444093313268723775622443039488398382068554535223515811284143145536339894885497952430798070852017610878720517443346843325196794576447264010183934226025864713172893300323675816913148151503895494065568782336404873269267054296076048612466002856387479225809120641546370923281355628718645976453364441552510947288483980171596371168214344385749886950011558362989196547115350173674971208047758485711283645340834310153093658372850637607781803445859730429032385797248650315717263075681465492696650570837256841967103472266075200270870123685186134072773194567689931077052209129562559577330811778538918036498283386494994481817135001093020396154525605041238651138928011914087464171455734874509936881854753703442872252717880766479539176621121760221310487554160409335919734510054205327060795198076274566105725518851313831510016

Vitor Ahcor escreveu:Certo, irei assumir que você conhece a teoria de congruência modular e um pouquinho de indução. Se não entender alguma etapa, por favor, pergunte.

2014≡14 mod20

⇒2014²≡196mod20≡16mod20

⇒2014⁴ ≡ 256mod20≡16 mod 20

⇒2014⁶ ≡ 256mod20≡16 mod 20

Vamos por indução:

Hipótese: 2014^2k ≡ 16 mod 20

⇒ 2014^2k+1 ≡ 16*2014 mod 20 ≡ 4mod20
⇒ 2014^2(k+1) ≡ 16 mod20

Logo, por indução, provou-se que 2014^2k ≡ 16 mod 20 para todo k∈ℕ, em especial 2014²⁰¹⁴ ≡ 16 mod 20.

Ou seja, o resto pedido é 16.

Não conheço esses conceitos, mas procurarei saber. Caso ainda não entenda, retorno.

aitchrpi escreveu:Usando um computador, normalmente.

2014^2014= 2375554301912629376781815290091589908268773876093022677592577622250841828573470741038377645194865468031518584452820334821317923468523484107726398819205209084701729316568893755869971161726717358147168897742727455916097864246550799829375231644282945096931492606818468572019347552539196120370733831728565876107311570879615010631336577542601717020923265310837901566232545460295024924660961676602177746381563670596369039632925537608415529133673184787129559975731173952361145462336620427265652466075359408886240776361068315988354787336037530337462245063227110087009521490679010877889613484452891672016624431337518486018514001176003264516099752835112524522053490918008028298331098214148760048067609130806798727711829462850051887835141350510634317546431225926286615235115362731923666697226815951648494301119121224422708604757120137104693130588236993560089333435247114901960117764768616365759654073915076619624193258010956171069386411488234200332494165496323077058608524208878989141129931522397855140068486844598271517021295233426942237098662495029271599255264208192201804934664326235402973797909454757493268969638589448522347402181859898703776567428954048271316843636684584451516302500829888323792524028655167688923852493507238926938868567261843962404988955002499153640488475947413560425381416585712822511413900957673567534355679028459406612139865513438270691272576210068045628594407849081274470342164105394208429446172364037132532576683991800765313303366772780862143982725452609654423408526404110412659886330890909356303557735176931817535316646578293000630114404355223571262027291991422305613019300004320028525893926940664826269566688171437625539055082188764565795330506827069071023397609367439904374287879206545813638732411012307923127269739099689901166810734683953163670940723131635416729664052457846473673967655756023182715080493434556546819328267665744495318976699227070401628061960549232981188734366940471448156702209497149532834661366770570603519088957338743879039365397084017275078208788189251819633604505361588032546415696457688685225257706247830768591179389934823230739418127469851724241319823960324640636614548793303297050338881555419299675668987069087795674333497393213034152715366512256825157838472938603542413666110536488586439165662076553022814357331676876500065004446447187971784235906388016687363133304471657671510939182884959575965737717182513561945119768042620983174301137950369513034531474073439751887527818233268876498157602951261570042028634633302878113028016815791358972627937878477395224749530560339009510871375323401525639711523319005436677662630732487802596054519442354611717668711291921954326519089916541681443137043050157967850546520367207857848382488959979021700593239233822358848518488740232253830734972818618160407436295718755974719775939957161975393715116786471119552674052036192387765972704679726940092863507162997115689563763407907319168379432102168366203230767504268192656203882813976214021274995199774572752608643989458385260075353390889203735902187570658431104283901663738516543415163305036810529598893648015690103493010541046533047816831949038547430937164258267107801593947388716401040385730801316642169190187575148372027915408788525535968961749377639803208909689823861234258267471138294789066878425601971817248146061422253930739079785346248085157640072881986531004982980306180701715494189893800498778972550444168520317547256619361447724440581015384014621572717850274415208378759449414205636503822048873067063578105162610956196658543396817302017322174767704737640626777336384126039538531627437229842963663464394503327702082741977055281799088264734569636556701962114819178577794085774617433709314337016216375010886482947387487634465158423500392469176023604372114538105683012259300209235759275722029828143643426439816509447315646205913609665754479804571542204055167571734891251608205346688524399261875450641481892898688701260028504957876918701085039885348393550786062229668849835161820963762850118534972023680208495918670543372878700322825687794130155045890541565861358907704865016060931067365183783975530907146592004171311963066637584486903321546799868491768293417619878466837706043683387553502714923427015592257641136005205153945436575078119465438015961015137601781003536001112688173001149883911271750400146391536869906041209031795973333245788028199765753845104475569429858626245278771358970196375577507293766512564752246152672050814243397872379209218263275227640056742509957310444012376376029354071285411790216977387456463707377054431829898706258749992264938644777015510155572463985456589081466225871095043412622473869176764710138925149088058732882544709184050863865738330371846956102290767127202748780265060514429778763587848062894718897987566363001198517054133819642329619880391910761898433358241958635202511602430739804040270563443072625518560980730279180383122819722034602024435775959974973077254437075134812154863701549450144718505880396349758462749397148812744412659043809535486008351764467264721588649289046009139185310452256551243459819967512084138854633200217413898346655972891098192478827217812669664501238909511708617059009875455458987206138197171536062510910853581554823920121832297287868583255768223623844891251781844641117385854585354956633663924162971456646146297846886017093516862574139553237312640765424800178375524779527780616312385112940972913094348047965434635789249496277930196101817379758984479935324656783003104145117097410290938850677543744634951476678558950226665757330168704599244670214869138017918447677890328363847548736003934203185708939195909036827608813702677100558584328464019722456339718046186002937260250867043330935806380715852153077718476308257502977123849420829144326827056399142679136661117628919831993251153611940966625730243478804688086595930890805686293530301506618003150421863335731324585450266746962244962668910347128309617936180405911641574248166518661401362726327641010444093313268723775622443039488398382068554535223515811284143145536339894885497952430798070852017610878720517443346843325196794576447264010183934226025864713172893300323675816913148151503895494065568782336404873269267054296076048612466002856387479225809120641546370923281355628718645976453364441552510947288483980171596371168214344385749886950011558362989196547115350173674971208047758485711283645340834310153093658372850637607781803445859730429032385797248650315717263075681465492696650570837256841967103472266075200270870123685186134072773194567689931077052209129562559577330811778538918036498283386494994481817135001093020396154525605041238651138928011914087464171455734874509936881854753703442872252717880766479539176621121760221310487554160409335919734510054205327060795198076274566105725518851313831510016

Talvez eu tenha esquecido por um momento o monstro que essa conta criaria, valeu por lembrar