Relações métricas nos quadriláteros

por Lancelott Qua 27 Dez 2023, 11:44

As diagonais de um quadrilátero ABCD inscritível, se encontram em um ponto E. Sabendo que AE = 2, BE = 5, DE = 4 e BC = 7,5. Determine quanto mede o raio da circunferência circunscrita ao quadrilátero ABCD sabendo que a distância de DC ao centro O é de 2,5.
a) 7.
b) 10.
c) 15.
d) 4.
e) 3.

Resposta:

Tem alguma propriedade especifica para resolver essa questão?

por **Medeiros** Qua 27 Dez 2023, 17:49

Faça um desenho para acompanhar, agora não posso fazê-lo.
As únicas propriedades que se usa são teoria das cordas e lei dos cossenos.

Relações métricas nos quadriláteros Scre2112

teoria das cordas --> AE.CE = BE.DE -----> CE = 10

CÊB = θ
lei dos cos no ∆BCE --> 7,5² = 5² + 10² - 2.5.10.cosθ -----> cosθ = 68,75/100

CÊD = 180º - θ ----> cos(180º-θ) = -cosθ
lei dos cos no ∆CED --> DC² = 16 + 100 +80*68,75/100 = 16 + 100 + 55 -----> DC² = 171

seja O o centro do círculo.
trace OF perpendicular a CD, F em CD. F divide o segmento CD ao meio, i.e., DF = CD = DC/2 (propriedade do raio).
prolongue OF para os dois lados até tocar o círculo; acabamos de desenhar o diâmetro.
novamente, propriedade das cordas --> (R + OF).(R - OF) = (DC/2).(DC/2)
OF = 2,5 (enunciado)
R² - 2,5² = DC²/4
R² = 171/4 + 6,25 = 42,75 + 6,25 = 49
.:. R = 7

por **Giovana Martins** Qua 27 Dez 2023, 18:17

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \bigtriangleup CEB\sim \bigtriangleup DEA\ (Caso\ A.A.A.)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{EB}{EA}=\frac{ED}{EC}\ \therefore\ EC=10\ ,\ \frac{EB}{EC}=\frac{EA}{DA}\ \therefore\ AD=3}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Stewart\ no\ DCA:}\\\\ \mathrm{(CD)^2\cdot EA-(ED)^2\cdot CA+(DA)^2\cdot CE=EA\cdot EC\cdot CA\ \therefore\ \ell ^2=42,75}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Pit\acute{a}goras\ \bigtriangleup MOD: r=\sqrt{\ell ^2+(2,5)^2}\ \therefore\ r=7}[/latex]

por **Giovana Martins** Qua 27 Dez 2023, 18:26

Mesmo fazendo o desenho no programa, eu não consegui deixar na escala certinha, mas acho que vai dar para entender. Do contrário, me avise.

A propósito, parto do princípio de que a solução por Stewart tem que ser a sua última saída, porque pra lembrar como é essa fórmula é só por um milagre. Tive que ver procurar aqui no meu FME, porque eu não consigo decorar esse trem.

por **Giovana Martins** Qua 27 Dez 2023, 18:27

Ah, espero não ter feito nenhuma presepada nas contas, porque eu fiz meio que no olhômetro. Do contrário, me avise também.

por Lancelott Qui 28 Dez 2023, 11:09

Giovana Martins escreveu:
Ah, espero não ter feito nenhuma presepada nas contas, porque eu fiz meio que no olhômetro. Do contrário, me avise também.

Consegui compreender tudo, muito obrigado pela ajuda e por te feito o desenho também.

por **Medeiros** Dom 31 Dez 2023, 00:52

Giovana, FELIZ ANO NOVO!

Sobre sua resolução acho-a muito elegante e erudita, pois usou semelhança de triângulos e teorema de Stewart, mas não entendi a partir da primeira linha: baseada em que você diz que os triângulos CEB e DEA são semelhantes?

por **Giovana Martins** Dom 31 Dez 2023, 07:44

Medeiros escreveu:Giovana, FELIZ ANO NOVO!

Sobre sua resolução acho-a muito elegante e erudita, pois usou semelhança de triângulos e teorema de Stewart, mas não entendi a partir da primeira linha: baseada em que você diz que os triângulos CEB e DEA são semelhantes?

Bom dia, Medeiros. Feliz Ano Novo!!!

Obrigada. Eu editei a minha imagem. Coloquei mais algumas informações que faltaram na primeira figura. De qualquer modo, para chegar na relação de semelhança que eu indiquei, teríamos utilizar as propriedades dos arcos na circunferência. Veja na imagem que eu editei se agora dá para entender.

por **Medeiros** Dom 31 Dez 2023, 14:05

Giovana Martins escreveu:
Bom dia, Medeiros. Feliz Ano Novo!!!

Obrigada. Eu editei a minha imagem. Coloquei mais algumas informações que faltaram na primeira figura. De qualquer modo, para chegar na relação de semelhança que eu indiquei, teríamos utilizar as propriedades dos arcos na circunferência. Veja na imagem que eu editei se agora dá para entender.

Agora ficou perfeito, Giovana. Eu não tinha enxergado isso. Obrigado.

por Mael0912 Dom 31 Dez 2023, 17:53

Giovana Martins escreveu:
Mesmo fazendo o desenho no programa, eu não consegui deixar na escala certinha, mas acho que vai dar para entender. Do contrário, me avise.

A propósito, parto do princípio de que a solução por Stewart tem que ser a sua última saída, porque pra lembrar como é essa fórmula é só por um milagre. Tive que ver procurar aqui no meu FME, porque eu não consigo decorar esse trem.

qual programa é esse giovanna?