Fórmula fechada do somatório

[latex]S=  \sum_{k=0}^{n} k^{2} C_{n}^{n-k}\textrm{}\sqrt{ \pi ^{k}}[/latex]

Eu já vi alguns exercícios parecidos no livro, geralmente é alguma manipulação até chegar em binômio de Newton. Mas está está além do que consigo. Se alguém puder me ajudar, muito obrigado.

Inicialmente, note que:

[latex]k^2\binom{n}{n-k}=k(k-1+1)\frac{n!}{k(k-1)(k-2)!(n-k)!}=

=\frac{n!}{(k-2)!(n-k)!}+\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}=n\binom{n-1}{k-1}+n(n-1)\binom{n-2}{k-2}.[/latex]

Daí, a expressão pedida simplificada é:

[latex]S=\sum_{k=0}^{n}k^2\binom{n}{n-k}\pi^{\frac{k}{2}}=n\sum_{k=1}^{n}\binom{n-1}{k-1}\pi^{\frac{k}{2}}+n(n-1)\sum_{k=2}^{n}\binom{n-2}{k-2}\pi^{\frac{k}{2}}
S=n\sqrt{\pi}\sum_{k=1}^{n}\binom{n-1}{k-1}\pi^{\frac{k-1}{2}}+n(n-1)\pi\sum_{k=2}^{n}\binom{n-2}{k-2}\pi^{\frac{k-2}{2}}
S=n\sqrt{\pi}(1+\sqrt{\pi})^{n-1}+n(n-1)\pi(1+\sqrt{\pi})^{n-2}.
[/latex]