Fórmula fechada para somatório, função gama?

Olá, estava tentando encontrar uma fórmula fechada para esse somatório:
 
Naturalmente, eu acabei recorrendo pro Wolfram Alpha, e lá ele me deu como resposta:

Eu gostaria de saber como ele fez pra encontrar esse resultado que envolve a função gama.

Olá


Talvez não exista um meio analítico de se achar a fórmula fechada, mas perceba que : veja se te ajuda em algo, se não poste o exercício por completo.

Olá!   
Talvez tu tenha razão em não ser analítico o método de se achar essa fórmula fechada, eu apenas fiquei curioso  . Pois é, essa informação infelizmente não me ajuda NESSE limite, eis a questão inicial:
Seja M = [img]https://latex.codecogs.com/png.latex?\lim_{n\to+\infty}[\lim_{x\to+\infty}(1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}).e^{-x})][/img] ;
E N = [img]https://latex.codecogs.com/png.latex?\lim_{x\to+\infty}[\lim_{n\to+\infty}(1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}).e^{-x})][/img]

Calcule M-N:
(A) 1 - e
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) e - 1

Note que no caso de N, realmente acontece o que tu sugeriu, mas em M, não há como fazer isso, então eu pensei em representar o somatório em M com uma fórmula fechada que contenha n e x, que, se eu procurar no Wolfram, ele fornece aquela fórmula que envolve a função gama incompleta, que se eu usar a representação dela com a integral   e continuar resolvendo a questão, note que, quando x tende ao infinito, a integral dá 0, consequentemente, todo o resto do cálculo de M vai dar 0. E no cálculo de N, vai acontecer aquilo que tu falou, o somatório vai ser igual a  , que vai se cancelar ao multiplicar o , dando 1 como resposta para N. Logo, M-N = -1.
Eu não tenho a resposta do exercício, mas eu acho que está certo o que eu fiz, só fiquei surpreso com a função gama que acabou aparecendo ali no somatório, e fiquei curioso em saber como que se faz para calcular aquela fórmula fechada que a envolve.

Olá

Para resolver "M" faça o seguinte:

É possivel provar usando a Regra de  L'Hospital que :

, sendo"n" um número natural .


isto quer dizer que e^(x) tem ordem de crescimento maior que x^(n) , logo como todos os termos apresentarão esta forma então  M=0.





att e abraços

Olá!   
Ótima resolução! Eu gostei mesmo!  
Obrigado pela atenção.
Grande abraço!