Calcule a área hachurada

Calcule o valor da área hachurada em cm², considerando que a circunferência maior tem raio R = 1 cm e as quatro circunferências menores são tangentes entre si e de raio r.


Gabarito: (3 - 2√2 ).(4 - π)

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Eu comecei a resolução, mas o resultado não bateu com o gabarito.

Vejam o que pensei:

Observei que:

(x + r)² + (x + r)² = (2r)²
2(x² + 2xr + r²) = 4r²
2x² + 4xr + 2r² = 4r²
2x² + 4xr = 2r² {I}


4r + 2x = R
4r + 2x = 1
x = (1 - 4r)/2 {II}


Relacionando o sistema de equações, temos:

2[(1 - 4r)/2]² + 4[(1 - 4r)/2]r = 2r²
2(1 - 8r + 16r²)/4 + 2(1 - 4r)r = 2r²
(1 - 8r + 16r²)/2 + 2r - 8r² = 2r²
1/2 - 4r + 8r² + 2r - 8r² = 2r²
1/2 - 2r = 2r²
2r² + 2r - 1/2 = 0
4r² + 4r - 1 = 0

Δ = (4)² - 4(4)(-1) = 32
√Δ = √32 = 4√2

Como queremos o valor positivo de r, temos:

r = (4√2 - 4)/(2.4) = (√2 - 1)/2

Para encontrar a área hachurada, podemos subtrair a área do quadrado de lado 2r pelo circulo de raio r:
(2r)² - r²π = 4r² - r²π = r²(4 - π)

[(√2 - 1)/2]²(4 - π) = [(2 - 2√2 + 1)/4](4 - π) = {(3 - 2√2)/4}(4 - π)

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Poderiam me dizer onde errei, ou se preferirem, resolvê-la para que eu mesmo encontre o erro...

Obrigado!

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Questão retirada de:
http://www.cmb.ensino.eb.br/index2.php?option=com_docman&task=doc_view&gid=2207&Itemid=61

Gabarito:
http://www.cmb.ensino.eb.br/index2.php?option=com_docman&task=doc_view&gid=2208&Itemid=61

CMB - Provas de admissão para Ensino Médio:
http://www.cmb.ensino.eb.br/index.php?option=com_docman&task=cat_view&gid=100&Itemid=61

Diagonal do Quadrado:

2-2r

Lados do quadrado:

2r

Então:

(2-2r)²=(2r)²+(2r)²

r=V2-1

A área procurada é :

Área do quadrado - Área do Círculo, então:

(2r)²-pi*r²=r²*(4-pi)=(3-2V2)*(4-pi)

Nossa! Como eu compliquei!!
Tenho que tomar cuidado para não complicar um negócio desse, mas às vezes a cabeça falha

Obrigado pela simples e brilhante solução Adam!

Editei o post anterior

Acho que há um pequeno engano no cálculo do raio menor:

Obrigado Euclides

Errei feio...

Mas devo agradecer muito por esse erro, imagine se eu tivesse acertado com aquela complicada resolução, iria ficar sem saber o caminho mais bonito?

Legal! Obrigado Euclides!