(IME 1988) Inequação Trigonométrica

por JpGonçalves_2020 Sáb 22 Jul 2023, 19:53

Resolva, no intervalo [latex] \left [0,2\pi \right ] [/latex]:

[latex]\frac{2sen^{2}x + cos x - 1}{sen x - cos x - \sqrt{2}} \geqslant 0 [/latex]

Gabarito:

por **Elcioschin** Sáb 22 Jul 2023, 21:10

Numerador N = 2.sen²x + cosx - 1 ---> N = 2.(1 - cos²x) + cosx - 1 ---> Função N --->

N = - 2.cos²x + cosx + 1 ---> Parábola com concavidade voltada para baixo

Faça N = 0 calcule as raízes x' e x" sendo x' < x"

N > 0 ---> x' < N < x"
N < 0 ---> x < x' e x > x"
N = 0 ---> x = x' e x = x'

Faça similar para a função D do denominador, sendo D ≠ 0

Depois faça a tabela de sinais (varal) para as duas funções.

por **Giovana Martins** Dom 23 Jul 2023, 08:24

Algumas outras considerações. Se houver dúvidas, avise.

Do numerador: f(x) = 2sin²(x) + cos(x) - 1 ≥ 0, o que implica 0 ≤ x ≤ 2∏/3 U 4∏/3 ≤ x ≤ 2∏. Outra conclusão que podemos tirar é que f(x) < 0 para 2∏/3 < x < 4∏/3. Ver gráfico abaixo.

(IME 1988) Inequação Trigonométrica ZmRmBBLMycyJGZkZYbYlTtp2vElIceewCwNzMnNiRmZGIMGczJyYkZkRZlvipG3Hm4QUdw67MDAnMydmZGYEEszJzIkZmRlhtiVO2na8SUhx57ALA3Myc2JGZkYgwZzMnJiRmRFmW+KkbcebhBR3DrswMCczJ2ZkZgQSzMnMiRmZGWG2JU7adrxJSHHnsAsDczJzYkZmRiDBnMycmJGZEWZb4qRtx5uEFHcOuzAwJzMnZmRmBBLMycyJGZkZYbYlTtp2vElIceewCwNzMnNiRmZGIMGczJyYkZkRZlvipG3Hm4QUdw67MDAnMydmZGYEEszJzIkZmRlhtiVO2na8SUhx57ALA3Myc2JGZkYgwZzMnJiRmRFmW+KkbcebhBR3DrswMCczJ2ZkZgQSzMnMiRmZGWG2JU7adrxJSHHnsAsDczJzYkZmRiDBnMycmJGZEWZb+v+zRaONgyB20AAAAABJRU5ErkJggg==

Do denominador: q(x) = sin(x) - cos(x) - √2. Pela Desigualdade das Médias: Média aritmética ≤ Média quadrática, logo, [sin(x) - cos(x)]/2 ≤ √{[sin²(x) + cos²(x)]/2}, o que implica sin(x) - cos(x) ≤ √2. Sendo √2 o maior valor que p(x) = sin(x) - cos(x) pode assumir, logo, o maior valor que q(x) pode assumir é 0. Entretanto, tendo em vista que q(x) é denominador da inequação, logo, q(x) = sin(x) - cos(x) - √2 < 0 ∀ x ∈ [0,2∏].

Se você não tiver conhecimentos acerca da Desigualdade das Médias, você poderia chegar à mesma conclusão que eu cheguei acima simplesmente plotando o gráfico de q(x). Veja a sua configuração:

(IME 1988) Inequação Trigonométrica HyWiMBnRSZNIBuJmVxBgXdnBSZNYB2MmlQrGV8Oa2RgE6KTBpAN5OyOIOCbk6KzBpAO5k0KNYyvpzWSEAnRSYNoJtJWZxBQTcnRWYNoJ1Mmv8PaawfHfh6UxoAAAAASUVORK5CYII=

Observe que q(x) < 0 quando 0 < x < 3∏/4 e 3∏/4 < x < 2∏.

Fazendo a análise de sinais (varal):

(IME 1988) Inequação Trigonométrica M8AIH4UAdBgFExoxIwAdMgPccHhKOzC7mcmnCMqcHrpnRgD8MwOM8FEIQIdRMKERMwLQITPADYentPMfQTs62wwY5aYAAAAASUVORK5CYII=

Deste modo: S = [2∏/3,3∏/4) U (3∏/4,4∏/3].

Minha resposta bateu com a do Wolfram. Veja: https://www.wolframalpha.com/input?i=%282sin%5E2x%2Bcosx-1%29%2F%28sinx-cosx-2%5E%281%2F2%29%29%3E%3D0%2C0%3C%3Dx%3C2pi