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ITA 1988 Equação Trigonométrica

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Resolvido ITA 1988 Equação Trigonométrica

Mensagem por GBRezende Qua 12 Set 2018, 19:54

(ITA-1988)Sobre a equação \tan (x)+\cot (x)=2\sin (6x), podemos afirmar que:
(A) apresenta uma raiz no intervalo 0 < x < \frac{\pi }{4}.
(B) apresenta duas raízes no intervalo 0< x< \frac{\pi }{2}.
(C) apresenta uma raiz no intervalo \frac{\pi }{2}< x< \pi .
(D) apresenta uma raiz no intervalo \pi < x< \frac{3\pi }{2}.
(E) não apresenta raízes reais.
Gab.:

Como fiz a questão: 
\tan (x)+\cot (x) = 2\sin (6x)
\tan (x)+\frac{1}{\tan (x)}=2\sin (6x)
\frac{\tan^{2}(x)+1}{\tan (x)}=2\sin (6x)
\sec^{2}(x)\cot(x)=2\sin(6x)
\frac{1}{\sin(x)\cos(x)}=2\sin(6x)
1=\sin(6x)\sin(2x)
1=\frac{\cos(8x)-\cos(4x))}{2}
2\cos^{2}(4x)-1-cos(4x)=2
2\cos^{2}(4x)-cos(4x)-3=0

Chamando cos(4x) de a e resolvendo a equação etc, achamos:
\cos(4x)=\frac{1+5}{4}=\frac{3}{2} que é óbviamente inválido, e:
\cos(4x)=\frac{1-5}{4}=-1
4x=\pi\pm 2k\pi
x=\frac{\pi}{4}\pm\frac{k\pi}{2}, k\in \mathbb{Z}

Pra este resultado tando a letra C como a letra D estão corretas. Eu consigo ver que está errado, pois ao substituir em \sin(6x)\sin(2x)=1 achamos -1=1. Mas não vejo aonde está o erro e como chegar na afirmação que não há raízes reais. Desde já, muito obrigado.


Última edição por GBRezende em Qua 12 Set 2018, 20:15, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: ITA 1988 Equação Trigonométrica

Mensagem por GBRezende Qua 12 Set 2018, 20:15

Olá! Já sei qual foi meu erro! Não sei se devo editar no próprio enunciado ou responder, então qualquer coisa podem me corrigir que eu edito. Em \sin(6x)\sin(2x)=1, eu estava usando que \sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}(\cos(a+b)-\cos(a-b)), mas na verdade a transformação de produto em soma de sin*sin é \frac{-1}{2}(\cos(a+b)-\cos(a-b)). Desta forma, a equação não terá raízes reais. Perdão pelo erro galera!
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