Inequação trigonométrica

É dada a equação:

Para que valores de "alfa" a equação admite raízes reais negativas?

Olá, jaques104.

Faltou informar o intervalo: 0 <= a <= pi

é uma questão da Mackenzie.

Se as raízes são reais e negativas, o discriminante é positivo (ou nulo) e o produto delas é positivo. Com isso:

(-4cosa)² - 4*2cos²a*(4cos²a-1) >= 0 .:. 16cos²a - 32cos^4a + 8cos²a >= 0 .:.  24cos²a - 32cos^4a > 0 .:.
 8cos²a * (3 - 4cos²a) >= 0 

8cos²a é sempre maior que zero. Basta então que 3-4cos²a >= 0:

3-4cos²a >= 0 .:. 4cos²a <= 3 .:. cos²a <= 3/4 .:. -√3/2 <= cos a <= √3/2


--> pi/6 <= a < pi/2 ou pi/2 < a <= 5pi/6, a pertencente aos reais. (Se a = pi/2, teremos uma falsa igualdade na equação inicial).


Para admitir raízes negativas:


(4cos²a - 1)/(2cos²a) > 0


Basta que o numerador seja positivo:


4cos²a - 1 > 0 .:. cos²a > 1/4 .:. cosa < -1/2 ou cosa > 1/2


--> 2pi/6 < a <= pi ou 0 <= a < pi/3


Temos os seguintes intervalos então:

 pi/6 <= a <= 5pi/6,  2pi/3 < a <= pi ou 0 <= a < pi/3


cuja interseção é 2pi/3 < a <= 5pi/6, a pertencente aos reais.


Uma resolução mais fácil de entender: MACK


Att.,
Pedro

PedroCunha escreveu:Olá, jaques104.

Faltou informar o intervalo: 0 <= a <= pi

é uma questão da Mackenzie.

Se as raízes são reais e negativas, o discriminante é positivo (ou nulo) e o produto delas é positivo. Com isso:

(-4cosa)² - 4*2cos²a*(4cos²a-1) >= 0 .:. 16cos²a - 32cos^4a + 8cos²a >= 0 .:.  24cos²a - 32cos^4a > 0 .:.
 8cos²a * (3 - 4cos²a) >= 0 

8cos²a é sempre maior que zero. Basta então que 3-4cos²a >= 0:

3-4cos²a >= 0 .:. 4cos²a <= 3 .:. cos²a <= 3/4 .:. -√3/2 <= cos a <= √3/2


--> pi/6 <= a < pi/2 ou pi/2 < a <= 5pi/6, a pertencente aos reais. (Se a = pi/2, teremos uma falsa igualdade na equação inicial).


Para admitir raízes negativas:


(4cos²a - 1)/(2cos²a) > 0


Basta que o numerador seja positivo:


4cos²a - 1 > 0 .:. cos²a > 1/4 .:. cosa < -1/2 ou cosa > 1/2


--> 2pi/6 < a <= pi ou 0 <= a < pi/3


Temos os seguintes intervalos então:

 pi/6 <= a <= 5pi/6,  2pi/3 < a <= pi ou 0 <= a < pi/3


cuja interseção é 2pi/3 < a <= 5pi/6, a pertencente aos reais.


Uma resolução mais fácil de entender: MACK


Att.,
Pedro

Entendi Pedro, muito obrigado