Inequação Trigonométrica

por nandofab Dom 16 Ago 2015, 09:42

Prove que se A,B e C são ângulos de um triângulo, então COSA + COSB + COSC <= 3/2

por **Giovana Martins** Sáb 15 Abr 2023, 12:51

Resoluções desse tipo geralmente são obtidas de fazendo o cálculo de trás para a frente. Segue uma possível resolução. Ainda não me parece tão consistente, mas vou deixar aí. Quem sabe o pessoal não algo a mais para contribuir.

Para melhor entendimento, sugiro ver os cálculos de baixo para cima, isto é, de trás para a frente.

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Sejam\ AB = c, BC = a \ e\ AC = b. \ Pela\ Lei\ dos\ Cossenos:}\\\\ \mathrm{Tem-se,por\ exemplo,cos(C)=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\ e\ an\acute{a}logo\ para\ os\ outros\ \hat{a}ngulos.}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Sendo\ cos(A)+cos(B)+cos(C)\leq \frac{3}{2},vem:}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ab^2+ac^2-a^3+a^2b+c^2b-b^3+a^2c+b^2c-c^3\leq 3abc}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Manipulando\ a\ igualdade, vem:}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ (a-b)^2(a+b-c)+(b-c)^2(b+c-a)+(c-a)^2(c+a-b)\leq 0}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Sendo\ a+b-c>0,b+c-a>0\ e\ c+a-b>0,tem-se:}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ (a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0\ \therefore\ a=b=c\ \therefore\ \bigtriangleup ABC\to equil\acute{a}tero}[/latex]

Acredito que esta questão saia mais facilmente por Multiplicadores de Lagrange ou então pela Teoria das Desigualdades, mas não cheguei a tentar algo por esses métodos.

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