Progressão Aritimética

A soma de 4 termos consecutivos de uma progressão aritmética crescente é 868. O produto entre o menor e o maior
entre esses quatro termos é 46.864, se essa sequência possui apenas um termo menor que zero, então
a1 + a2 + a3 + a4 = 28.

Gabarito: verdadeira.

[latex] \begin{cases}
a_n+a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3} = 868
a_n\cdot a_{n+3} =46.864
\end{cases}
[/latex]
Temos duas equações em função de a_1 e r. Dá pra resolver.


Da primeira:
[latex] a_n+a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3} = a_n + a_n + r + a_{n+2} + a_{n+3} = 2a_n +2a_{n+3} =  868  [/latex]

Multiplicando por a_n:

[latex] 2a_n +2a_{n+3} =  868 \implies 2a_n^2 +  2 a_n \cdot a_{n+3} = 868 a_n [/latex]

Dividindo por 2 e usando a segunda equação:

[latex]  2a_n^2 +  2 a_n \cdot a_{n+3} = 868 a_n \implies a_n^2 - 434a_n+ \underbrace{46.864}_{a_n\cdot a_{n+3}} =0 [/latex]

Resolvendo a quadrática, obtemos  a_n = 202 ou a_n = 232.


Se a_n = 202, a_{n+3} = 232 e vice versa.

Como a sequência é crescente a_{n+3} deve ser maior que a_n, portanto a_n = 202.

Como a_{n+3} - a_n = 30, temos r = 10.


Como "essa sequência possui apenas um termo menor que zero" e ela é crescente, esse termo deve ser a_1. Temos [latex] a_n -200 = a_n -20r = a_{n-20} = 2 >0 [/latex], portanto [latex] a_1 = a_{n-21} = 202 - 210 = -8 [latex].

Temos [latex] a_1 +a_2+a_3+a_4 = 2\cdot (a_1+a_4) = 2\cdot (-8 + -8+30) =  28 [latex].


Creio que seja isso