Álguem poderia me dizer o que ele fez na relação (V)

Numa divisão de dividendo D, divisor d, quociente q e resto r, demonstrar
que ao subtrairmos o mesmo número n (n ∈ N∗) ao dividendo e ao divisor,
o quociente gerado q', será maior ou igual ao quociente q.

Resolução:

D=d.q+r (III)
D-n=(d-n)q'+r' (IV)

Temos a demonstrar que q' ≥ q
D = d × q + r...(III), 0 ≤ r

D + n = (d + n) × q' + r' ...(IV), 0 ≤ r' < d − n ou

 D = (d + n) × q − n × q + r...(V) 

D + n = (d + n) × q' + r' ...(VI) 

(VI)−(V) ⇒ n = (d + n) × (q' − q) + r' + n × q − r ou (d + n) × (q' − q) = n × (1 − q) + r − r' ...(VII) 

Os limites, mínimo e máximo, que os restos r e r' podem assumir em (I) e (II) são, respectivamente, 0 e d + n − 1. Substituindo-os na igualdade anterior, teremos: (d + n) × (q'− q) = n × (1 − q)−(d + n) + 1 

ou (d + n) × (q' − q + 1) = n × (1 − q) + 1 Para que essa igualdade seja verdadeira, devemos ter: q' − q + 1 ≤ 0 ou q' ≤ q