Divisibilidade

Sendo k um número ímpar, 11^2k + 19^2k é um número divisível por 241. Verdadeiro ou falso?

Gab: Verdadeiro

Alguém poderia me ajudar provando que isso é válido para qualquer k?

Como k é ímpar, temos k = 2n+1, n natural.

A proprosição vale para n =0 -> k = 1, pois 11^(2*1)+19^(2*1) = 121+361 = 482 = 241*2.

Supondo que vale para n = q -> k = 2q+1, portanto 11^(4q+2) +19^(4q+2) = 241*p.

Queremos demonstrar que vale para n = q+1 -> k = 2q+3, portanto 11^(4q+6) + 19^(4q+6) = 241 * t.


Primeiro observe:

    [latex]\begin{align*} 11^{4q+6} +19^{4q+6} &= 11^{4q+2}\cdot 11^{4} +19^{4q+2}\cdot 19^4\\ &= 11^4\cdot\left(11^{4q+2}+19^{4q+2} \right ) +19^{4q+2}\cdot\left(19^4-11^4\right) \end{align*}[/latex]

Usando a hipótese de indução e fazendo conta você chega que 11^(4q+6) + 19^(4q+6)  é múltiplo de 241.


Outro jeito:


Primeiro observe:
    [latex]a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1})[/latex]

Se n ímpar:

    [latex]b^n = -(-b)^n[/latex]
Então temos:

    [latex]\begin{align*} 11^{4n+2} +19^{4n+2} &= \left( 11^{2} \right )^{2n+1}+(19^2)^{2n+1} \\ &= (121)^{2n+1}-(-361)^{2n+1}\\ &=\left(121 +361\right)(121^{2n} -121^{2n-1}\cdot361 \cdots -121\cdot 361^{2n-1}+361^{2n})\\ &=482\cdot (121^{2n} -121^{2n-1}\cdot361 \cdots -121\cdot 361^{2n-1}+361^{2n})\\ &=241\cdot 2 \cdot (121^{2n} -121^{2n-1}\cdot361 \cdots -121\cdot 361^{2n-1}+361^{2n})\\\ &= 241\cdot k \end{align*}[/latex]

Po, muito obrigado Tales. Consegui entender