Questão da UNIFOR Bacharelado 2016/1

por @larawillyana Seg 12 Set 2022, 17:44

Numa vidraçaria há um pedaço de vidro sob a forma de um triângulo retângulo de lados 3 m, 4 m e 5 m. O proprietário da vidraçaria pretende, a partir desse pedaço, recortar um vidro retangular com a maior área possível, onde o corte será feito como indicado na figura abaixo.

Questão da UNIFOR Bacharelado 2016/1 Triang10

Nessas condições, os valores das dimensões x e y desse retângulo, em centímetros, são, respectivamente,

a) 200 e 150
b) 220 e 130
c) 230 e 140
d) 240 e 150
e) 250 e 160

Não consegui achar o resultado fazendo por semelhança de triângulos, talvez esteja errando algo. Alguém poderia dizer?
Gabarito: A

por al171 Seg 12 Set 2022, 18:35

Pela semelhança de \( \triangle\)'s, estabelecemos a relação entre \(x\) e \(y\):
\[\tag{1}
\frac{x}{3-y} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = 4 - \frac{4y}{3} = 4 \left( 1 - \frac{y}{3} \right)
\]
Assim, a área \(A(y) \) do retângulo é
\[
A(y) = y \cdot 4 \left( 1 - \frac{y}{3} \right)
\]
Trata-se de uma parábola de concavidade negativa e, por isso, possui um valor máximo que ocorre na média aritmética das raízes de \(A(y) \), isto é, em \(y = \frac{3}{2} \ \mathrm{m} = 150 \ \mathrm{cm} \).

De \((1)\),
\[
x = 4 \left( 1 - \frac{y}{3} \right) = 4 \left( 1 - \frac{3/2}{3} \right) = 2 \ \mathrm{m} = 200 \ \mathrm{cm}
\]