Por quanto tempo cada jogador deve estar em campo?

A seguinte questão surgiu em uma revistinha de desafios: "Em um jogo com 6 jogadores, que dura 40 minutos, há 4 reservas. Eles substituem cada jogador, de forma que todos os jogadores, incluindo os próprios reservas, encerrem a partida tendo estado em campo durante a mesma quantidade de tempo. Por quanto tempo cada jogador deve estar em campo?"

Primeiramente, está implícito nas regras do jogo que eu posso tirar e por em campo um jogador mais de uma vez, pois caso contrário o desafio não tem solução. De fato, após colocar todos os 4 reservas em campo, haverá 2 jogadores que não foram substituídos ainda e que, naturalmente, terão jogado mais tempo que todos os reservas. A única maneira desses 2 jogares jogarem o mesmo tanto que os demais jogadores, é se eu os substituir. Mas isso só acontece se a regra do jogo me permitir colocar em campo de novo um jogador que já havia sido substituído.


Eu consegui resolver de um modo que não me agradou muito e gostaria muito de ver outras resoluções (com justificativa), especialmente se forem mais simples que a minha. 

A minha solução foi a seguinte: chamarei de 1,2,3,4,5,6 os 6 jogadores em campo iniciais e de 7,8,9,10 os 4 jogadores reservas. Irei fazer substituições de 1 jogador por vez a um intervalo regular de x minutos. Vou indicar por 1^{0}, 1^{x}, 1^{2x}, etc, que o jogador 1 jogou 0 intervalo de x minutos, 1 intervalos de x minutos, 2 intervalos de x minutos e etc. Essa indicação será feita para todos os demais jogadores: 2,3,4,5,6,7,8,9,10.



Assim, no começo do jogo a gente tem

1^{0}, 2^{0}, 3^{0}, 4^{0}, 5^{0}, 6^{0} | 7^{0}, 8^{0}, 9^{0}, 10^{0}, indicando que ainda nenhum jogador jogou um intervalo de x minutos.


Após o primeiro intervalo, irei substituir o jogador 1 pelo jogador 7. Assim, ficaremos:

7^{0}, 2^{x}, 3^{x}, 4^{x}, 5^{x}, 6^{x} |  1^{x}, 8^{0}, 9^{0}, 10^{0}.



Após o segundo intervalo, substituo o jogador 2 pelo jogador 8.

7^{x}, 8^{0}, 3^{2x}, 4^{2x}, 5^{2x}, 6^{2x} | 1^{x}, 2^{2x}, 9^{0}, 10^{0}.



Após o terceiro intervalo, substituo o jogador 3 pelo jogador 9.

7^{2x}, 8^{x}, 9^{0}, 4^{3x}, 5^{3x}, 6^{3x} | 1^{x}, 2^{2x}, 3^{3x}, 10^{0}



Após o quarto intervalo, substituo o jogador 4 pelo jogador 10.

7^{3x}, 8^{2x}, 9^{x}, 10^{0}, 5^{4x}, 6^{4x} | 1^{x}, 2^{2x}, 3^{3x}, 4^{4x}.


A partir do quinto intervalo, preciso colocar em campo de novo um jogador que havia sido substituído. Naturalmente, vou colocar em campo aquele jogador que jogou menos, ou seja, colocar o jogador 1. Irei colocá-lo no lugar do jogador que jogou mais tempo desde o inicio até agora, ou seja, o jogador 4. Essa regra será aplicada continuamente nas substituições, colocando sempre o que está em banco e que jogou menos que os demais do banco, no lugar do que está em campo e que jogou mais que os demais em campo.


Após 4 interações a partir do quarto intervalo, todos os atuais reservas do quarto intervalo: 1,2,3,4 deverão estar em campo de novo, e os atuais jogares do quarto intervalo: 5,6,7,8 deverão estar na reserva. Já que 5,6,7,8 serão substituídos, nessa ordem, por 1,2,3,4, após o oitavo intervalo cada jogador terá jogado


3^{4x}, 4^{4x}, 9^{5x}, 10^{4x}, 1^{4x}, 2^{4x} | 5^{5x}, 6^{6x}, 7^{6x}, 8^{6x}.



Após o nono intervalo, substituo o jogador 9 pelo jogador 5 e teremos:

3^{5x}, 4^{5x}, 5^{5x}, 10^{5x}, 1^{5x}, 2^{5x} | 9^{6x}, 6^{6x}, 7^{6x}, 8^{6x}.


Logo, após o décimo intervalo, todos os jogadores terão jogado exatamente 6x minutos. Como levou-se 10 intervalos para que isso acontecesse, cada intervalo tem 40/10 = 4 minutos. Como cada jogador jogou 6x minutos, com x = 4, então cada jogador jogou 24 minutos.


O que eu não gosto dessa resolução. Eu cheguei ao resultado utilizando uma regra de substituição particular, 1 jogador de cada vez. E se eu substituísse 2 jogares por vez? Eu obteria o mesmo número mínimo de intervalos para que cada jogador jogasse o mesmo tanto que os demais? Eu acho que a resposta é sim, mas ainda não sei uma justificativa satisfatória.

Olá colega;

Sempre existirão 6 jogadores em campo durante os 40 minutos, portanto cada vaga é ocupada por 40 minutos. Numeremos as vagas no jogo em 1,2,3,4,5 e 6; Chamemos os dez jogadores de A, B , C , D, E , F , G , H , I e J.
Defina-se [latex]X_n[/latex] como sendo tempo que cada jogador X passa numa vaga de número n.

Como cada vaga de número n é ocupada por 40 minutos, então a soma dos tempos que cada jogador ocupa ela é 40:

[latex]A_n + B_n + C_n + D_n + E_n + F_n +G_n + H_n + I_n + J_n = 40 \text{ }minutos[/latex]

Se você somar as equações das seis vagas:

[latex]T_A + T_B + T_C + T_D + T_E + T_F + T_G + T_H + T_I + T_J = 240[/latex]

Onde cada [latex]T_X[/latex] de um dado jogador X é a soma [latex]T_X = X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6[/latex]. Note que [latex]T_X[/latex] é a soma dos tempos que um jogador passa em cada uma das vagas e, portanto, é o tempo total que ele participa do jogo.

Pela hipótese do tempo em campo de cada jogador ser igual:

[latex]T_A = T_B = T_C = T_D = T_E = T_F = T_G = T_H = T_I = T_J = \text{Tempo em campo por jogador} \implies [/latex]


[latex]10 \cdot \text{Tempo em campo por jogador} = 240 \implies

\text{Tempo em campo por jogador} = 24 \text{ }minutos[/latex]

Bons estudos

Simplificando

t = 40/(6 + 4) ---> t = 4 min

Tempo total de cada jogador = 6.4 = 24 min