Calcular o parâmetro k em equação biquadrada

por Zeis Dom 30 Jan 2022, 14:23

1. Calcule o parâmetro k na equação biquadrada de tal forma que suas raízes estejam em PG:

[latex]x^{4}-\left ( 3k+4 \right )x^{2}+\left ( k+1 \right )^{2}=0[/latex]

por **Elcioschin** Dom 30 Jan 2022, 15:24

Tens certeza da equação?

∆ = b² - 4.a.c ---> ∆ = 0² - 4.(3.k + 4)².(k + 1)² ---> ∆ < 0 ---> raízes complexas!

por Zeis Dom 30 Jan 2022, 16:12

corrigido é x na quarta menos ...

por **Elcioschin** Dom 30 Jan 2022, 16:20

Ainda está errado: faltou o termo em x², para ser uma biquadrada

por Zeis Dom 30 Jan 2022, 17:53

corrigido

por **Elcioschin** Dom 30 Jan 2022, 19:33

x⁴ + 0.x³ - (3.k + 4).x² + 0.x + (k + 1)²

Raízes: r/q² , r/q , r.q, r.q² ---> r/q² é a menor raiz e q é a razão da PG

Relações de Girard

r/q² + r/q + r.q + r.q² = 0 ---> I

(r/q²).(r/q) + (r.q²).(r.q) + (r.q²).(r.q²) + (r/q).(r.q) + (r/q).(r.q²) + (r.q).(r.q²) = - (3.k + 4) ---> II

(r/q²).(r/q).(r.q) + (r/q²).(r/q).(r.q²) + (r/q²).(r.q).(r.q²) + (r/q).(r.q).(r.q²) = 0 ---> III

(r/q²).(r/q).(r.q).(r.q²) = (k² + 1)² ---> r⁴ = (k² + 1)² ---> r² = k² + 1 ---> r = √(k² + 1)

Resolva o sistema e calcule r, q, k