Limite
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Limite
por Iuric Sex 17 Dez 2021, 06:44
[latex]\lim_{\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x}-(1+ax)}{x^{2}} [/latex]
a) Determine o valor da constante a pertencente aos reais para que exista.
b) Para o valor encontrado no item a, calcule o limite.
Na realidade estou com dificuldade de pensar na condição de existência do limite, não sei teoricamente por onde começar pra encontrar esse valor de a.
r:1/2
a) Determine o valor da constante a pertencente aos reais para que exista.
b) Para o valor encontrado no item a, calcule o limite.
Na realidade estou com dificuldade de pensar na condição de existência do limite, não sei teoricamente por onde começar pra encontrar esse valor de a.
r:1/2
Última edição por Iuric em Sex 17 Dez 2021, 14:59, editado 1 vez(es)
Iuric- Recebeu o sabre de luz
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Re: Limite
por Elcioschin Sex 17 Dez 2021, 10:04
Multiplique o numerador e o denominador por √(1 + x) + (1 + a.x)
Simplifique o numerador até - a².x² + (1 - 2.a).x
Transforme em duas frações
Note que a 1ª fração já atende e elimina a indeterminação.
Basta que a 2ª fração seja nula: 1 - 2.a = 0 ---> a = 1/2
Simplifique o numerador até - a².x² + (1 - 2.a).x
Transforme em duas frações
Note que a 1ª fração já atende e elimina a indeterminação.
Basta que a 2ª fração seja nula: 1 - 2.a = 0 ---> a = 1/2
Elcioschin- Grande Mestre
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Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Limite
por SilverBladeII Dom 19 Dez 2021, 16:34
aplicando L'Hospital, temos
[latex]\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-(1+ax)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}}-a}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{1-2a\sqrt{1+x}}{4x\sqrt{1+x}}[/latex]
o limite do denominador é 0, portanto, para existir, o limite do numerador deve ser 0.
Então
[latex]\lim_{x\to0}1-2a\sqrt{1+x}=1-2a=0[/latex]
portanto a=1/2.
assim
[latex]\lim_{x\to0}\frac{1-\sqrt{1+x}}{4x\sqrt{1+x}}=\lim_{x\to0}\frac{1-(1+x)}{4x\sqrt{1+x}(1+\sqrt{1+x})}=\lim_{x\to0}-\frac{1}{4\sqrt{1+x}(1+\sqrt{1+x})}=-\frac{1}{8}[/latex]
[latex][/latex]
[latex]\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-(1+ax)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}}-a}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{1-2a\sqrt{1+x}}{4x\sqrt{1+x}}[/latex]
o limite do denominador é 0, portanto, para existir, o limite do numerador deve ser 0.
Então
[latex]\lim_{x\to0}1-2a\sqrt{1+x}=1-2a=0[/latex]
portanto a=1/2.
assim
[latex]\lim_{x\to0}\frac{1-\sqrt{1+x}}{4x\sqrt{1+x}}=\lim_{x\to0}\frac{1-(1+x)}{4x\sqrt{1+x}(1+\sqrt{1+x})}=\lim_{x\to0}-\frac{1}{4\sqrt{1+x}(1+\sqrt{1+x})}=-\frac{1}{8}[/latex]
[latex][/latex]
SilverBladeII- Matador
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Localização : Teresina, Piauí, Brasil
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