Integral indefinida
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Integral indefinida
por nessinhanl Sáb 11 Dez 2021, 00:45
Seja F(x) a primitiva geral da integral indefinida
[latex]\int\frac{\text{sen }^3(8x)}{\sqrt[9]{{\text{cos}}^{5}(8x)}}dx[/latex]
Sabendo que a constante de integração é C = 12, obtenha F(x) e calcule [latex]\Large{F\left(\frac{\pi}{32}\right)}[/latex]
[latex]\int\frac{\text{sen }^3(8x)}{\sqrt[9]{{\text{cos}}^{5}(8x)}}dx[/latex]
Sabendo que a constante de integração é C = 12, obtenha F(x) e calcule [latex]\Large{F\left(\frac{\pi}{32}\right)}[/latex]
Última edição por nessinhanl em Sáb 11 Dez 2021, 12:26, editado 1 vez(es)
nessinhanl- Iniciante
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Re: Integral indefinida
por Giovana Martins Sáb 11 Dez 2021, 08:47
Acho que é isso.
[latex]\\\mathrm{u=8x\ \therefore \ du=8dx\ \therefore \ \int \frac{sin^3(8x)}{\sqrt[9]{\mathrm{cos^5(8x)}}}dx=\frac{1}{8}\int \frac{sin^3(u)}{\sqrt[9]{\mathrm{cos^5(u)}}}du }\\\\\mathrm{\int \frac{sin^3(8x)}{\sqrt[9]{\mathrm{cos^5(8x)}}}dx=\frac{1}{8}\int \frac{sin(u)[1-cos^2(u)]}{\sqrt[9]{\mathrm{cos^5(u)}}}du}\\\\\mathrm{t=cos(u)\ \therefore \ dt=-sin(u)du\ \therefore \ \int \frac{sin^3(8x)}{\sqrt[9]{\mathrm{cos^5(8x)}}}dx=-\frac{1}{8}\int \frac{1-t^2}{t^{\frac{5}{9}}}dt}\\\\\mathrm{\int \frac{sin^3(8x)}{\sqrt[9]{\mathrm{cos^5(8x)}}}dx=-\frac{1}{8}\left ( \frac{9}{4}t^{\frac{4}{9}}-\frac{9}{22}t^{\frac{22}{9}} \right )+C=-\frac{1}{8}\left [ \frac{9}{4}cos^{\frac{4}{9}}(u)-\frac{9}{22}cos^{\frac{22}{9}}(u) \right ]+C}\\\\\mathrm{\therefore \ F(x)=\int \frac{sin^3(8x)}{\sqrt[9]{\mathrm{cos^5(8x)}}}dx=-\frac{1}{8}\left [ \frac{9}{4}cos^{\frac{4}{9}}(8x)-\frac{9}{22}cos^{\frac{22}{9}}(8x) \right ]+12}[/latex]
[latex]\\\mathrm{u=8x\ \therefore \ du=8dx\ \therefore \ \int \frac{sin^3(8x)}{\sqrt[9]{\mathrm{cos^5(8x)}}}dx=\frac{1}{8}\int \frac{sin^3(u)}{\sqrt[9]{\mathrm{cos^5(u)}}}du }\\\\\mathrm{\int \frac{sin^3(8x)}{\sqrt[9]{\mathrm{cos^5(8x)}}}dx=\frac{1}{8}\int \frac{sin(u)[1-cos^2(u)]}{\sqrt[9]{\mathrm{cos^5(u)}}}du}\\\\\mathrm{t=cos(u)\ \therefore \ dt=-sin(u)du\ \therefore \ \int \frac{sin^3(8x)}{\sqrt[9]{\mathrm{cos^5(8x)}}}dx=-\frac{1}{8}\int \frac{1-t^2}{t^{\frac{5}{9}}}dt}\\\\\mathrm{\int \frac{sin^3(8x)}{\sqrt[9]{\mathrm{cos^5(8x)}}}dx=-\frac{1}{8}\left ( \frac{9}{4}t^{\frac{4}{9}}-\frac{9}{22}t^{\frac{22}{9}} \right )+C=-\frac{1}{8}\left [ \frac{9}{4}cos^{\frac{4}{9}}(u)-\frac{9}{22}cos^{\frac{22}{9}}(u) \right ]+C}\\\\\mathrm{\therefore \ F(x)=\int \frac{sin^3(8x)}{\sqrt[9]{\mathrm{cos^5(8x)}}}dx=-\frac{1}{8}\left [ \frac{9}{4}cos^{\frac{4}{9}}(8x)-\frac{9}{22}cos^{\frac{22}{9}}(8x) \right ]+12}[/latex]
Última edição por Giovana Martins em Sáb 11 Dez 2021, 10:52, editado 2 vez(es)
Giovana Martins- Grande Mestre
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Re: Integral indefinida
por nessinhanl Sáb 11 Dez 2021, 10:35
Giovana Martins escreveu:Acho que é isso.
[latex]\\\mathrm{u=8x\ \therefore \ du=8dx\ \therefore \ \int \frac{sin^3(8x)}{\sqrt[9]{\mathrm{cos^5(8x)}}}dx=\frac{1}{8}\int \frac{sin^3(u)}{\sqrt[9]{\mathrm{cos^5(u)}}}du }\\\\\mathrm{\int \frac{sin^3(8x)}{\sqrt[9]{\mathrm{cos^5(8x)}}}dx=\frac{1}{8}\int \frac{sin(u)[1-cos^2(u)]}{\sqrt[9]{\mathrm{cos^5(u)}}}du}\\\\\mathrm{t=cos(u)\ \therefore \ dt=-sin(u)du\ \therefore \ \int \frac{sin^3(8x)}{\sqrt[9]{\mathrm{cos^5(8x)}}}dx=-\frac{1}{8}\int \frac{1-t^2}{t^{\frac{5}{9}}}dt}\\\\\mathrm{\int \frac{sin^3(8x)}{\sqrt[9]{\mathrm{cos^5(8x)}}}dx=-\frac{1}{8}\left ( \frac{9}{4}t^{\frac{4}{9}}-\frac{9}{22}t^{\frac{22}{9}}+C \right )=-\frac{1}{8}\left [ \frac{9}{4}cos^{\frac{4}{9}}(u)-\frac{9}{22}cos^{\frac{22}{9}}(u)+C \right ]}\\\\\mathrm{\therefore \ F(x)=\int \frac{sin^3(8x)}{\sqrt[9]{\mathrm{cos^5(8x)}}}dx=-\frac{1}{8}\left [ \frac{9}{4}cos^{\frac{4}{9}}(8x)-\frac{9}{22}cos^{\frac{22}{9}}(8x)+12 \right ]}[/latex]
Este também a resposta ficou diferente do que você achou. Poderia ser também algum erro do gabarito divulgado hoje pelo professor?
[latex]\int\frac{\text{sen}^3(8x)}{\sqrt[9]{{\text{cos}}^{5}(8x)}}dx= \int\frac{(1-\text{cos}^2(8x)).\text{sen }(8x)dx}{\sqrt[9]{{\text{cos}}^{5}(8x)}}[/latex]
fazendo [latex]u=\text{cos}(8x)\Rightarrow du=-8\text{sen}(8x)dx[/latex]
[latex]\int\frac{\text{sen}^3(8x)}{\sqrt[9]{{\text{cos}}^{5}(8x)}}dx=-\frac{1}{8}\int(1-u^2)u^{-5/9}du=[/latex]
[latex]=\frac{1}{8}\left(\frac{\text{cos}^{(3-5/9)}(8x)}{3-5/9}-\frac{\text{cos}^{(1-5/9)}(8x)}{1-5/9}\right)+C[/latex]
sendo C = 12, então:
[latex]\Large F(x)=\frac{1}{8}\left(\text{cos}^{(1-5/9)}(8x) \right)\left(\frac{\text{cos}^2(8x)}{3-5/9}-\frac{1}{1-5/9}\right)+12[/latex]
logo:
[latex]\Large F\left(\frac{\pi}{32}\right)=\frac{1}{8}\left(\left(2^{-1/2}\right)^{(1-5/9)}\right)\left(\frac{1}{2\left(3-5/9\right)}-\frac{1}{1-5/9}\right)+12[/latex]
[latex]\Large F\left(\frac{\pi}{32}\right)=11,780818299839[/latex]
nessinhanl- Iniciante
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Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: Integral indefinida
por Giovana Martins Sáb 11 Dez 2021, 10:56
Vanessa, fiz uma edição na minha resolução. Quanto a resolução, eu parti para uma substituição diferente, visando apenas o argumento da função trigonométrica, o que gerou uma primitiva ligeiramente diferente, mas o resultado final vai resultar nesse valor que o seu professor encontrou.
Giovana Martins- Grande Mestre
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