Máximo Divisor Comum

por zangstrell Qua 28 Jul 2021, 20:27

Sejam x, y ∈ Z. Supondo que x divide y e que x + 1 divide y.

Prove que x(x + 1) divide y.

Como dica, tente encontrar o máximo divisor comum entre x e x+1

por **Victor011** Qui 29 Jul 2021, 11:02

Olá zangstrell! Máximo Divisor Comum 1f600

Seja "a" um número natural que divide x e x+1. Logo:

x = k₁.a
x+1 = k₂.a
→ 1 = (k₂-k₁).a

Ora, isso só é possível se a=1, k₁=x, k₂=x+1.
Portanto mdc(x+1, x) = 1, o que prova que números consecutivos são primos entre si.

Agora usando o enunciado, como x divide y: y = k₃.x
Além disso, como x+1 divide y: x+1 divide k₃.x
Porém, como x+1 e x são primos entre si: x+1 divide k₃ → k₃ = (x+1).k₄

Logo y = k₃.x = x(x+1).k₄, e portanto, x(x+1) divide y.

por zangstrell Qui 29 Jul 2021, 16:31

Olá Victor! Smile

Muito obrigado, ajudou bastante!

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