Aplicação de derivada

A proliferação de microrganismos presentes em um lixão cresce rapidamente no início, mas ocasionalmente estabiliza. A população pode ser modelada por:

[latex]f(t) = \frac{7a}{1+\frac{be^{-0.7t}}{3}}[/latex]

onde t é medido em horas. No tempo t = 0 a população é de 20 bactérias e cresce a uma taxa de 12 bactérias/hora. Encontre os parâmetros a e b.

Sabendo que

[latex]\\f(x)=g(x)+h(x) \rightarrow f'(x)=g'(x)+h'(x)\\\\\\f(x)=\displaystyle\frac{g(x)}{h(x)}\rightarrow f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h(x)'}{(h(x))^2}[/latex]


Então

[latex]\\g(t)=21a \Rightarrow g'(t) = 0\\\\h(t)= 3+b\cdot e^{-0.7t}\Rightarrow h'(t)=-0.7\cdot b\cdot e^{-0.7t}\\\\\left[h(t) \right ]^2 = b^2\cdot e^{-1.4 t} + 6 b\cdot e^{-0.7 t} + 9\\\\\\\\\\f'(t) = \frac{0\cdot \left(3+b\cdot e^{-0.7t} \right)-21a\cdot\left(-0.7\cdot b\cdot e^{-0.7t} \right )}{b^2\cdot e^{-1.4 t} + 6 b\cdot e^{-0.7 t} + 9}\\\\\\f'(t)=\frac{14.7 a b\cdot e^{-0.7 t}}{(b\cdot e^{-0.7 t} + 3)^2}\\\\\\f'(0)=\frac{14.7\cdot a\cdot b}{(b+3)^2}=12\;\mbox{ (I})[/latex]


Além disso, 

[latex]\\f(0) = \frac{21a}{b+3} = 20\;\mbox{ (II})[/latex]


Resolvendo o sistema para (I) e (II), encontramos

[latex]\left\{\begin{matrix} a=20\\b=18 \end{matrix}\right.[/latex]