Prova sobre ortogonalidade

Para a ida, dado que C é subconjunto de [latex]R^n[/latex], basta provar que é fechado na soma e produto por escalar. 
Sejam [latex]u, v \in C[/latex], reais a, b quaisquer e [latex]w\in C^\perp[/latex]. Então 
[latex]\langle au+bv, w \rangle=a\langle u, w\rangle+b\langle v, w\rangle=a(0)+b(0)=0[/latex]
Como isso vale para qualquer [latex]w[/latex], então [latex]au+bv \in (C^\perp)^\perp=C[/latex],
de modo que C é fechado para soma e produto por escalar e, portanto, subespaço.

Suponha agora C um subespaço de [latex]\mathbb R^n[/latex]. Nesse caso, tome 
[latex]\{ u_1, u_2, \dots  u_p, v_1, v_2, \dots, v_q \}[/latex] 
uma base ortonormal de [latex]\mathbb{R}^n[/latex] (existe pois o espaço é finitamente gerado), com p+q=n e tal que 
[latex]\{ u_1, \dots, u_p \}[/latex] é base de C (isso é possível, e é um fato conhecido)

Vamos mostrar que [latex]C^\perp=[v_1, v_2, \dots,  v_q] [/latex].
Seja [latex]v\in[v_1, \dots, v_q] [/latex]. Então, para qualquer vetor u em C, temos
[latex]\begin{align*}
\langle u, v \rangle &= \left\langle \sum_{i=1}^{p} a_iu_i, \sum_{j=1}^{q}b_jv_j \right\rangle\\
&= \sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{q}a_ib_j\langle u_i, v_j \rangle\\
&= \sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{q}a_ib_j(0)\\
&=0
\end{align*}[/latex]
de forma que [latex]v\in C^{\perp}[/latex].
Seja [latex]v\in C^\perp[/latex]. Então [latex]v=\sum_{j=1}^{p}a_j u_j+\sum_{k=1}^{q}b_kv_k[/latex]
Por definição, para qualquer [latex]u\in C[/latex] temos [latex]\langle u, v \rangle = 0[/latex]. Particularmente, tome [latex]u=\sum_{i=1}^{p}a_iu_i[/latex]. Então
[latex]\begin{align*}
\left\langle \sum_{i=1}^{p}a_iu_i, \sum_{j=1}^{p}a_ju_j+\sum_{k=1}^{q}b_ku_k \right\rangle&= \sum_{i=1}^{p}\sum_{j=1}^{p}a_ia_j\langle u_i, u_j \rangle + \overbrace{\sum_{i=1}^{p}\sum_{k=1}^{q}a_ib_k\langle u_i, v_k\rangle}^{0} \\
&=  \sum_{i=1}^{p}a_i^2\langle u_i, u_i \rangle + \overbrace{ \sum_{i=1}^{p}\sum_{\substack{j=1\\ j\neq i}}^{p}a_ia_j\langle u_i, u_j \rangle}^{0}\\
&=\sum_{i=1}^{p}a_i^2\\
&=0
\end{align*}[/latex]
Isso só é possível se [latex]a_i=0[/latex], para todo [latex]1\leq i\leq p[/latex], de forma que [latex]v\in[v_1,\dots, v_q][/latex] (então [latex]C^\perp = [v_1 \dots, v_q]  [/latex])

Repetindo a mesma prova, obtemos que [latex](C^\perp)^\perp=[u_1,\dots, u_p]=C.[/latex]