Dúvida sobre uma prova em complexos

Mostre que se z = x + yi pertence à cincunferência de raio unitário centranada na origem do plano complexo, com exceção do complexo -1, então z pode ser escrito na forma:
z = (x+yi+1)/(x-yi+1)

A minha dúvida não é sobre a questão mas sobre o que usar por trás dela.
Para provar o que é pedido eu devo partir de z = x + yi e chegar na segunda expressão ou eu posso partir da segunda expressão e chegar na primeira? Acredito que devo partir da primeira, mas gostaria de ter certeza.

Quando há questões parecidas com essa no livro de complexos do Caio Guimarães, metade das vezes ele parte da segunda expressão.

Essa questão é do livro dele. Mas a minha dúvida já foi tirada.
O correto é partir da primeira e chegar na segunda, a não ser que parta da segunda e faça passagens de "se, e somente se".

metade não. Algumas.

Partir de z = x + y e chegar em z = (x + 1 + y)/(x + 1 - y) é um trabalho de advinhação: qual caminho seguir?
Fazer ao contrário é uma simples questão de Álgebra:

Desenvolva z = (x + 1 +y)/(x + 1 - y) obtendo

z = (x² - y² + 2x + 1)/(2x + 2) + [(2xy + 2y)/(2x + 2].i

Substitua y² = 1 - x² na parte real: [x² - (1 - x²) + 2x + 1]/(2x + 2) = (2x² + 2x) = x.(2x + 2)/2x + 2) = x


Note que a parte imaginária já está praticamente provada ---> (2xy + 2y)/(2x+ 2) = y(2x + 2)/(2x + 2) = y

Questões desse tipo eu faço quase sempre da segunda para a primeira no rascunho, aí depois é só escrever ao contrário, rs.

Não é necessário escrever ao contrário.
Note que, partindo da 2ª eu cheguei na 1ª. Basta isso

nandofab escreveu:Questões desse tipo eu faço quase sempre da segunda para a primeira no rascunho, aí depois é só escrever ao contrário, rs.

Hahahahahahaha eu fiz a mesma coisa nessa questão hahahahaha

Elcioschin escreveu:Não é necessário escrever ao contrário.
Note que, partindo da 2ª eu cheguei na 1ª. Basta isso

Elcioschin, partir da 2ª e chegar na primeira só é válido para provar se as passagens forem de <--->.
Seguindo o enunciado teria que partir da 1ª e chegar na 2ª. Isso implica que: "Se a 1ª é verdade, então a 2ª é necessariamente verdade; porém, se a 2ª é verdade, a 1ª não necessariamente é."
Partir da segunda e chegar na primeira seria como mostrar que um caso particular resulta num genérico, estaria provando "só a volta", a não ser que as passagens fossem de <--->.
Sendo z* o conjugado:
z = (z+1)/(z*+1) <---> zz* + z = z + 1 <---> zz* = |z| = 1, cqd.

Eu acho que as passagens são <--->

A prova partindo da 2ª para chegar à 1ª não envolveu nada que que implicasse a 2ª ser falsa:

1) O próprio enunciado garante que o complexo z = - 1 não pode ser considerado (x = -1 --> implica o denominador 2x - 2 = 0)

2) O enunciado garante que x² + y² = 1

3) As operações com a 2ª não introduziram nenhuma raiz inválida

E finalmente, vocês fizeram o seguinte:

Suponham que a 2ª não é verdadeira.
Vocês partiram então de uma equação não verdadeira e chegaram na  equação z = x + y que é verdadeira.
Depois fizeram o caminho contrário e provaram que a 2ª é verdadeira, contrariando o fato da suposição inicial..
Isto me parece bastante esquisito!