(EFOMM 2013) Trigonometria

Gabarito é a letra E mas não consigo desenvolver

(EFOMM 2013) [latex]Se ,tg x + sec x =\frac{3}{2},entao , senx+cosx,vale ?[/latex]

a)-7/13
b)5/13
c)12/13
d)15/13
e)17/13

tg x + sec x = 3/2
sen x/cos x + 1/cos x = 3/2
2.(sen x + 1) = 3.cos x
4.(sen x + 1)² = 9.cos²x
Utilizando o Teorema Fundamental da Trigonometria, temos que cos²x = 1 - sen²x
4.(sen x + 1)² = 9.(1 - sen²x). 
Como (1 - sen²x) é uma diferença de quadrados, podemos fatorar esse termo em (1 - sen x).(1 + sen x):
4.(sen x +1)² = 9.(1 - sen x).(1 + sen x)
4.(sen x +1)² - 9.(1 - sen x).(1 + sen x) = 0
(1 + sen x).[4.(sen x +1) - 9.(1 - sen x)] = 0
(1 + sen x).(13.sen x - 5) = 0
Assim, temos que sen x = - 1 ou sen x = 5/13. Nesse ponto, nota-se que sen x não pode ser -1, uma vez que, nesse caso, cos x seria zero, invalidando a frase inicial do enunciado, que considera o cosseno no denominador. A única possibilidade é, pois, que sen x valha 5/13.
Usando, novamente, o Teorema Fundamental da Trigonometria, você chega em cos x = 12/13 (também vale saber que 5, 12, 13 é uma trinca pitagórica hehehe).
A soma pedida é, então:
sen x + cos x = 5/13 + 12/13 = 17/13.

Obs: ao utilizar o Teorema Fundamental da Trigonometria para obter o valor de cos x, o mesmo poderia ser negativo. Para resolver esse impasse, o correto seria testar os valores positivos e negativos de cosseno na afirmação inicial (tg x + sec x = 3/2).