(Fuvest-2009) - equação trigonométrica

Seja x no intervalo ]0, pi/2[ satisfazendo a equação tg x + *sec x = 3/2.
Assim, calcule o valor de
a) sec x .
b) sen (x + pi/4).

Olá,
.......... 2 ............................................. 2
tg x + ---- * sec x = 3/2 => tg x = (3/2) - ----* sec x
......... \/5 ............................................\/5


tg² x = (9/4) + ( 4/5 )*sec² x - ( 6/\/5)*sec x => tg² x = ( 45 + 16*sec² x ) - (6/\/5)*sec x =>

tg² x = [ \/5*(45 + 16*sec² x ) - 120*sec x ] / 20*\/5 =>

sec² x - 1 = [ \/5*(45 + 16*sec² x ) - 120*sec x ] / 20*\/5 =>

20*\/5 * sec² x - 20*\/5 = 45*\/5 + 16*\/5 *sec² x - 120*sec x =>

4*\/5 * sec² x + 120*sec x - 65*\/5 = 0

raízes: sec x = 5/(2*\/5 ) ou sec x = - 65/(2*\/5 ) (não convém)


sec x = 5/(2*\/5) => 1/cos x = 5/(2*\/5 ) => cos x = (2*\/5)/5 =>

cos² x = 20/25 => cos² x = 4/5 => cos x = 2/ \/5

sen² x = 1 - (4/5) = 1/5 => sen x = 1/ \/5

sen ( x + (pi/4) ) = sen x * cos (pi/4) + sen (pi/4)*cos x =

= (1/ \/5 )*(\/2 /2) + (\/2 /2)*(2/ \/5) = (\/10)/10 + (\/10)/5 = 3*(\/10)/10.


Um abraço.

Jose Carlos escreveu:
tg² x = (9/4) + ( 4/5 )*sec² x - ( 6/\/5)*sec x => tg² x = ( 45 + 16*sec² x ) - (6/\/5)*sec x =>

de onde surgiu o ( 6/\/5)*sec x?

Olá michajunco,

.......... 2 ............................................. 2
tg x + ---- * sec x = 3/2 => tg x = (3/2) - ----* sec x
......... \/5 ............................................\/5


elevando ambos os membros ao quadrado:


tg² x = ( 3/2)² + [ ( 2/\/5 )*sec x ]² - 2*(3/2)*[(2/\/5)*sec x

tg² x = (9/4) + (4/5)*sec² x - (3*2/\/5)*sec x

tg² x = ( 9/4 ) + (4/5 )*sec² x - 6/\/5*sec x

Tenho um pouco de dificuldade com esses cálculos. Por que ao isolar tg x, se eleva tudo ao quadrado? A razão disso é a Equação Fundamental da Trigonometria?

Olá luhen14,

elevei tudo ao quadrado para para poder usar a relação -> sec² x = 1 + tg² x

Em relação ao item a), eu achei a equação 4tg²x -60tgx +29 = 0

As soluções são tgx = 1/2 e tgx = 29/2

Fazendo o triângulo auxiliar para a solução tgx = 1/2, acho que secx = raiz5/2, que é a resposta. 

Mas por que motivo a tgx = 29/2 não serve como solução?

Hayzel, há tangente positiva no 3 quadrante também, mas o examinador exige que o seno e o cosseno sejam positivos.

Mas o arco cuja tangente é igual a 29/2 (arctg29/2) pode estar também no primeiro quadrante, o que está dentro do limite do enunciado (]0, pi/2[) e faz o seno e o cosseno serem positivos e diferentes de zero, de acordo com a condição de existência. Não entendi porque, nesse caso, eu posso trabalhar com tgx = 1/2 e, assim, achar um valor para a secx, como pede o item a), mas não posso fazer o mesmo para tgx = 29/2.

Hayzel me desculpe, mas entendi o por quê. Substitua a tangente que você encontrou e verá secante necativa e isto é impossível devido ao intervalo dado.