Questão de polinômios, IME 1976

por Pierre Dzurunda Ter 06 Out 2020, 17:04

(IME 1976)
a) Dada a equação x⁴+ ax³ + bx² + cx + d=0, determine relação entre os seus coeficientes para que a soma de duas raízes seja igual à soma das outras duas.
b) Encontre as raízes da equação x⁴ + 6x³ +13x² +12x - 5 = 0, sabendo que seus coeficientes satisfazem as relações do item anterior.

Spoiler:

por **Elcioschin** Ter 06 Out 2020, 19:18

Sejam r, s, t, u as raízes, tais que t + u = r + s

Relações de Girard

1) r + s + t + u = - a ---> r + s + r + s = - a ---> r + s = -a/2 ---> t + u = - a/2

2) r.s + r.t + r.u + s.t + s.u + t.u = b ---> r.s + (r + s).t + (r + s).u + t.u = b --->

r.s + (r+s).(t+u) + t.u = b --> r.s + t.u + (-a/2).(-a/2) = b --> r.s + t.u = b - a²/4

3) r.s.t + r.s.u + r.t.u = s.t.u = - c ---> r.s.(t + u) + (r + s).t.u = - c --->

r.s.(-a/2) + (-a/2).t.u = - c --> r.s + t.u = 2.c/a

4) r.s.t.u = d

b - a/4 = 2.c/a ---> *4.a ---> 4.b.a - a² = 8.c ---> a² - 4.b.a + 8.c = 0

Questão de polinômios, IME 1976

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