Questão de polinômios

por VieiraSp Ter 16 Abr 2013, 19:26

Considere o polinômio de variável real : p(x)= (x-1).(x²-2).(x³-4).(x^4-8 ).(x^5-16)...(x^15-16384)

Então, o grau de p e o valor de p (2) são, respectivamente:

A) 120 e 2^112

B) 136 e 2^112

C) 136 e 2^105

D) 120 e 2^105

Pessoal, eu não consegui desenvolvê-lo.
Agradeço.

por **Elcioschin** Ter 16 Abr 2013, 21:04

P(x) = (x^1 - 2^0).(x^2 - 2^1).(x^3 - 2^2).(x^4 - 2^3) + .......... (x^15 - 2^14)

Grau de P(x) = (x^1).(x^2).(x^3).(x^4).(x^15) = x^(1 + 2 + 3 + 4 + ...... 15)

Temos a soma de uma PA em que a1 = 1, an = 15, n = 15 ----> S = (1 + 15).15/2 ----> S = 120

P(2) = (2 - 1).(2^2 - 2)(2^3 - 2^2).(2^4 - 2^3). .......

P(2) = 1*2*.4*8................ 16.384

P(2) = (2^1).(2^2).(2^3).(2^4) ............. (2^14) ----> P(2) = 2^(1 + 2 + 3 + 4 + ..... + 14)

O espoente é outra PA ----> S = (1 + 14).14/2 ----> S = 105^----> P(2) = 2^105

Alternativa D