(ITA-SP) Cinemática

Duas partículas A e B deslocam -se ao longo do eixo  Ox com velocidades dadas pelo gráfico a seguir, sendo que no 
instante t0 = 0 ambas estão na origem do sistema de coordenadas. No instante t = 2 s, A e B estão, respectivamente, nos pontos de abscissas x1 e x2, com acelerações a1 e a2. Compare x1 com x2 e a1 com a2.
Resposta: a2 > a1 e x1 > x2

Olá, a minha dúvida foi em relação ao coeficiente angular da reta tangente que deve ser traçada em B para ter a aceleração do mesmo,não sei como devo comparar A e B, alguém poderia esclarecer essa dúvida sobre o gráfico de uma questão nesse estilo?
Desde já agradeço pela sua atenção.

A derivada é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva em determinado ponto. Assim, a derivada da velocidade em ordem ao tempo é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva em determinado ponto, que nada mais é do que a "taxa de variação" instantânea da velocidade no ponto analisado; logo, é aceleração instantânea no ponto em questão. Em outras palavras, quanto maior o valor da derivada da velocidade em ordem ao tempo em dado ponto (ou seja, quanto maior o coeficiente angular da reta tangente à curva em determinado ponto ou, ainda, quanto maior a inclinação da reta tangente à curva em determinado ponto ou, ainda, quanto maior o ângulo formado entre a reta tangente à curva em determinado ponto e o eixo das abscissas representativo do tempo), maior a aceleração naquele ponto.

Agora me responda você: a reta tangente à curva B no ponto (2,v) é mais ou menos inclinada que a reta A?

Podemos analisar esse problema de uma forma "diferente". 

v1 = Velocidade da partícula A
v2 = Velocidade da partícula B

a1 = Aceleração da partícula A
a2 = Aceleração da partícula B

x1 = Posição da partícula A
x2 = Posição da partícula B

Com o gráfico da velocidade, obtemos a informação que a velocidade inicial de A e B são iguais a zero.
Montando um gráfico para a variação de velocidade para cada partícula (analisando a forma do gráfico) obtemos:

v1(t) = At + B (onde A e B são constantes, como uma função de primeiro grau)
v2(t) = A't² + B't + C' (onde A', B' e C' são constantes, como uma função de segundo grau)

Analisando mais a fundo, sabemos que v(0) = 0 para ambos os casos, portanto, o termo independente (B e C') são nulos.

v1(t) = At
v2(t) = A't² + B't

Suponho que você já saiba que a derivada da velocidade em relação ao tempo corresponde à nossa aceleração, então realizando o processo de derivação para ambas funções (um processo bem simples), chegamos no resultado:

a1(t) = A
a2(t) = 2A't + B'

Sabemos que v1(2) = v2(2)
Logo:
A * 2 = A' * 2² + 2 * B'
2A = 4A' + 2B'

A = 2A' + B'
Substituindo o valor obtido em nossa equação da aceleração, obtemos:

a1(t) = 2A' + B' (note que o valor de a1 não muda em relação ao tempo, pois a derivada de uma reta é uma constante)

a2(t) = 2A't + B' (note que o valor de a2 muda em relação ao tempo, pois a derivada de uma parábola é uma reta)

Portanto, ao comparar a aceleração de ambas partículas no instante t = 2, obtemos o seguinte sistema:
a1(2) = 2A' + B'
a2(2) = 4A' + B'

Comparando a1 com a2, podemos perceber que a2(2) > a1(2). Não se preocupe com A' ser negativo, pois a concavidade da parábola é para cima, o que nos garante o contrário.

Certo, chegamos no primeiro objetivo, sabemos que a2 > a1.

Para concluirmos o segundo objetivo, comparar os valores de x1 e x2, é bem fácil de ser feito. Basta lembrar que a distância percorrida por um corpo pode ser calculada pela área descrita pelo gráfico da velocidade. Em outras palavras, a distância percorrida por um corpo é a integral da sua velocidade em relação ao tempo. Sabendo disso, basta analisar a área descrita por debaixo da reta A e por debaixo da curva B. Qual área é maior? A da reta A, obviamente, portanto, a distância percorrida pela partícula A é maior que a distância percorrida pela partícula B. Logo x1 > x2.

Chegamos então nas respostas:

a2 > a1
x1 > x2