43 progressão

Seja um jogo de tabuleiro de sessenta casas. Ha duas formas de se concluir o jogo, seja avançando cinco casas, ou voltando tres casas. Em cada rodada, o jogador tem direito a escolher uma destas formas de jogar. É obrigatório que a última jogada seja de cinco casas. Assim, o número de jogadas com que pode-se concluir o jogo é:


A) 32
B) 36
C) 42
D) 46
E) 50


Não sei o gabarito
Adaptado de FGV 2024

O número de jogadas é N = A + B, em que A são as jogadas de três casas e B as de cinco casas. Façamos antes B = B' + 1, forçando que haja pelo menos uma jogada de cinco casas (a final).
Como são 60 as casas, deve 60 = -3A + 5(B'+1) <=> 55 = -3A + 5B'. Como o lado esquerdo é múltiplo de 5, deve o direito ser também. 5B' já o é, então 3A deve ser => A = 5A' => 55 = -15A' + 5B' <=> 11 = -3A' + B'. Assim, são N = A + B = 5A' + B' + 1 = 5A' + 11 + 3A' + 1 = 8A' + 12.
Daí, basta testar as alternativas e ver qual tem solução com A' inteiro. Também é possível fazer a sequência de possibilidades:
A) 32 = 8A' + 12 => 8A' = 20, não convém
B) 36 = 8A' + 12 => 8A' = 24, convém (a resposta)
C) 42 = 8A' + 12 => 8A' = 30, não convém
D) 46 = 8A' + 12 => 8A' = 34, não convém
E) 50 = 8A' + 12 => 8A' = 38, não convém
Ou então, os totais são 12, 20, 28, 36 (a resposta), 44, 52. Nenhum outro foi listado, então é B.