Fatoração

por MakiseKurisu Ter 21 Jul 2020, 22:18

Resolva a equação: x^2 -5x +8 - (5/x)+(1/x^2) = 0

Tentei fatorar de várias formas e não consegui.

S = { 1, (3+raiz de 5)/2, (3- raiz de 5)/2}

por Marano Ter 21 Jul 2020, 23:46

- x² + 1/x² são parcelas manjadas! Geralmente sugerem a técnica de "completar quadrados"
- Se necessário divida uma constante em mais de uma parcela (o que foi feito com o 8 = 6+2).

x² -5x +8 - (5/x)+(1/x²) = 0
x² + 2 + 1/x² + 6 -5x - (5/x) = 0
x² + 2 + 1/x² + 6 - 5(x + 1/x) = 0

Perceba que x² + 2 + 1/x² = (x + 1/x)²
Logo, (x + 1/x)² - 5(x + 1/x) + 6 = 0

Adotando x' = x + 1/x (I), caímos em uma equação do 2º grau
x'² - 5x' + 6 = 0
S= 5 e P=6 ---> x'=2 ou x'=3

Substituindo x' na equação (I) temos que,
3 = x + 1/x ---> x² - 3x + 1 ---> x = (3+√5)/2 ou x = (3-√5)/2
2 = x + 1/x ---> x² - 2x + 1 ---> x = 1 (raiz dupla)

Assim,
S={1; (3-√5)/2; (3+√5)/2}

Deve ter uma maneira mais fácil, mas essa foi a única que consegui pensar agr.

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