Cálculo de Área (UE-PI)

por Renato479 Sex 10 Abr 2020, 14:05

(UE-PI) Na ilustração abaixo, AB é um diâmetro paralelos à corda CD e o ângulo ADE mede 60°.

Se a área do triângulo ABE é 24, qual a área do triângulo CDE?

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

por **mauk03** Sex 10 Abr 2020, 15:18

Como AB e CD são paralelas, então BÊC = AÊD = 60º e AÊB = CÊD = 180º - AÊD = 120º.
Consequentemente, por simetria da figura, tem-se que:

AE = BE
CE = DE
BÂE = A^BE = D^CE = C^DE = (180º - AÊB)/2 = 30º

Como a área do triângulo ABE é igual a 24, então:

(1/2)*AE*BE*sen(AÊB) = 24 → (1/2)*AE²*sen(120º) = 24 → AE² = 96/√3 = 32√3 → AE = √(32√3)

Pela lei dos senos no triângulo ABE, tem-se que:

sen(AÊB)/AB = sen(A^BE)/AE → sen(120º)/AB = sen(30º)/√(32√3) → AB = √(96√3)

O ângulo A^CB é um ângulo inscrito da circunferência, e portanto é igual a metade do arco que ele estabelece na circunferência. Assim, A^CB = 180º/2 = 90º. Logo, A^BC = 180º - A^CB - BÂE = 60º.

Pela lei dos senos no triângulo ABC, tem-se que:
sen(A^CB)/AB = sen(A^BC)/(AE + CE) → sen(90º)/√(96√3) = sen(60º)/(√(32√3) + CE) → CE = 2√(2√3)

Logo, a área do triângulo CDE é:

Área(CDE) = (1/2)*CE*DE*sen(CÊD) = (1/2)*CE²*sen(120º) = (1/2)*4(2√3)*√3/2 = 6

Provavelmente exista uma solução mais curta usando mais as proporções da figura.

por Renato479 Sex 10 Abr 2020, 15:22

mauk03 escreveu:Como AB e CD são paralelas, então BÊC = AÊD = 60º e AÊB = CÊD = 180º - AÊD = 120º.
Consequentemente, por simetria da figura, tem-se que:

AE = BE
CE = DE
BÂE = A^BE = D^CE = C^DE = (180º - AÊB)/2 = 30º

Como a área do triângulo ABE é igual a 24, então:
(1/2)*AE*BE*sen(AÊB) = 24 → (1/2)*AE²*sen(120º) = 24 → AE² = 96/√3 = 32√3 → AE = √(32√3)

Pela lei dos senos no triângulo ABE, tem-se que:
sen(AÊB)/AB = sen(A^BE)/AE → sen(120º)/AB = sen(30º)/√(32√3) → AB = √(96√3)

O ângulo A^CB é um ângulo inscrito da circunferência, e portanto é igual a metade do arco que ele estabelece na circunferência. Assim, A^CB = 180º/2 = 90º. Logo, A^BC = 180º - A^CB - BÂE = 60º.

Pela lei dos senos no triângulo ABC, tem-se que:
sen(A^CB)/AB = sen(A^BC)/(AE + CE) → sen(90º)/√(96√3) = sen(60º)/(√(32√3) + CE) → CE = 2√(2√3)

Logo, a área do triângulo CDE é:
Área(CDE) = (1/2)*CE*DE*sen(CÊD) = (1/2)*CE²*sen(120º) = (1/2)*4(2√3)*√3/2 = 6

Provavelmente exista uma solução mais curta usando mais as proporções da figura.

Muito obrigado pela resolução