Sequência recorrente com limite.

Seja a sequência    {A_{n}}    tal que      a_{n+1} = \frac{a_{n} + x}{2}      e      a_{1} = \frac{x+y}{2}

Calcule      a_{k}     quando k tende ao infinito.

Considere uma sequência bn tal que an = bn + c, substituindo na relação dada no enunciado temos que:



A minha intenção de criar essa nova sequência foi para podermos tirar esse termo independente, que no caso é o x/2, para ficar mais fácil manipular a sequência, e para isso, olhando acima, basta fazermos c = x, tornando nossa nova sequência em an = bn + x. Dessa forma:



Daí:



Além disso, do an = bn + x temos que a1 = b1 + x e do a1 = (x+y)/2 temos que b1 = (y-x)/2, dessa forma:



Queremos saber ak quando k tende ao infinito, perceba que na fração  o y - x é um termo finito e constante, já que x e y são números finitos dados (creio que eles sejam, já que o enunciado não disse muito sobre eles) e que para o 2^k quando k tende ao infinito esse termo tende ao infinito, fazendo essa fração tender a zero, portanto quando k tender ao infinito, ak irá tender para x.