Permutação com repetição n < p ?

n = C(6, 3) ---> n = 20

Tens certeza do enunciado? Não seriam 5 dias, de 2ª a 6ª feira?
Tens certeza das alternativas?

Sim , tá do jeito que tem no meu material. Segunda a sábado e a resposta dando 10 ... já tentei de um bocado de jeito : (

Bom, o tópico é um pouco antigo, encontrei nas buscas. É provável que o autor sequer veja, mas fica aqui para quem mais procurar o tema.

A forma que eu encontrei que resolve esse problema de acordo com o gabarito é considerando que não importa a ordem com que o estudante deseja ver as peças. Ou seja, só interessa quantas vezes ele verá cada peça, e não em qual dia viu qual peça (nesse caso haveria um número muito maior de opções).

Assim, é melhor distribuir os 6 dias para as 3 peças, ao invés do contrário. Como cada peça obrigatoriamente será assistida ao menos uma vez, colocamos 3 dias para isso, sobrando os outros três dias. Abaixo listo alguns exemplos possíveis:

1 (PC) + 1 (Os Amb) + 1 Cova
2 (PC) + 1 (Os Amb) + 0 Cova
0 (PC) + 0 (Os Amb) + 3 Cova
0 (PC) + 3 (Os Amb) + 0 Cova

Repare que, ao analisar as possibilidades, temos:

Pery e Ceci + Os Ambulantes + Cova Rasa = 3,

Sendo que o número correspondente a cada peça é um valor inteiro e positivo. Então precisamos lembrar como encontrar raízes inteiras positivas de equações lineares (esse é o nome do "tema" da matemática). Há dois caminhos: por permutação com repetição e por combinação com repetição. O primeiro é tema do seu tópico, e também preferência minha, então iniciemos por ele.

Voltemos à equação:
Pery e Ceci + Os Ambulantes + Cova Rasa = 3.

Imagine que, a cada vez que vamos colocar um dia em um dessas três peças, preenchemos com uma barrinha. Repetindo meu exemplo, ficamos com:

| + | + |
|| + | +
+  + |||
+ ||| +

Não importa como façamos essa distribuição, teremos sempre 3 barras e dois sinais de +. A única coisa que muda é a ordem desses elementos. Por isso temos uma permutação de 5 elementos, o que nos dá 5!. Mas há elemento repetidos, que devem ser excluídos. No caso, há repetição entre 3 barrinhas (3!) e dois sinais de + (2!). A fórmula fica:

P_5^{3, 2} = \frac{5!}{(3!\cdot2!)} = \frac{5\cdot4\cdot3!}{3!\cdot2!} = 10.

O problema está resolvido. Mas vamos ver uma segunda forma de pensar, que pode ser mais útil caso quem me lê seja fã de fórmulas prontas. Note que minha fórmula é a mesma de uma combinação. Nesse caso, pode ser C_{5,3} ou C_{5,2}, que é a mesma coisa, pela relação de complementares. Podemos generalizar isso (óbvio que não estou fazendo uma demonstração) e montar a fórmula de combinação com repetição:

CR_{n,k} = C_{n+k-1, k}, sendo n o número de opções e k o número de escolhas.

Nesse exercício, teríamos tanto n quanto k igual a 3, pois são 3 peças e faltam 3 dias da semana. Assim:

CR_{3,3} = C_{3+3-1, 3} = C_{5,3} = 10.

Pronto, fechamos nossa resolução, que também pode ser visto como um resumo do tema.

Se você está estudando para vestibular, não vejo como um tema muito comum, mas tampouco é difícil. O que significa que, quando cai, muita gente erra (ou chuta), mas quem sabe consegue resolver facilmente. Recomendo ver o exercício do caminhão cegonha do ENEM 2017. Tem aqui no fórum, inclusive fui eu quem trouxe, e o

Dr. Astro escreveu:

me recordou deste tema. Deixo o agradecimento a ele. E link do tópico é esse aqui.