Áreas de figuras planas, IME/ITA

por lookez Sex 14 Jun 2019, 13:33

Dados 3 pontos consecutivos A, B e C sobre uma reta r, traçam-se três semicírculos de diâmetros AB, AC e BC do mesmo lado da reta. Determine a área do triângulo formado pelos pontos de máxima elevação dos três semicírculos, sabendo-se que o segmento BF (F sobre o maior semicírculo), perpendicular a reta r, mede 6.

Gabarito:

Spoiler:

Não sei nem por onde começar. Meu desenho:

Áreas de figuras planas, IME/ITA Img_2013

por guipenteado Sex 14 Jun 2019, 14:26

Áreas de figuras planas, IME/ITA Photo_12

Não sei se tá certo, fiz assim.

por lookez Sex 14 Jun 2019, 14:31

guipenteado escreveu:

Não sei se tá certo, fiz assim.

Parece que sim mas está particularizado, ao meu ver o problema não implica que os diâmetros dos círculos menores serão iguais, e logo BF não vai ser raio do círculo maior. Gostaria de ver uma resolução mais geral, ou talvez o problema esteja errado mesmo e faltando dados.

por **Medeiros** Sex 14 Jun 2019, 20:30

Lookez

usando seu desenho com solução genérica.
Ficou meio espremido, leia primeiro à esquerda, depois à direita, por fim o rodapé.

Áreas de figuras planas, IME/ITA Scree397

por papairock Sex 14 Jun 2019, 21:23

Olá Medeiros!
Que propriedade é esta que você usou para dizer que BF² = AB.BC ?

por **Medeiros** Sex 14 Jun 2019, 21:33

Olá papai

aprendi, nos anos '60, como "média geométrica no semicírculo".

Mas também pode-se chegar a ela pelas relações métricas no triângulo retângulo. Naquele semicírculo, desenhe o triângulo retângulo AFC e sua altura FB. Observe que dentro dele formaram-se mais dois triângulos retângulos semelhantes (entre si e ao original inclusive). Faça a relação de semelhança e chegue na propriedade que procuras.

por lookez Sáb 15 Jun 2019, 02:17

papairock escreveu:Olá Medeiros!
Que propriedade é esta que você usou para dizer que BF² = AB.BC ?

Eu aprendi esse ano como parte do assunto potência de ponto, é deduzida utilizando semelhança de triângulos, o enunciado fica assim: sejam AB e CD duas cordas de uma circunferência tais que se intersectam no ponto P interno a esta, vale PA * PB = PC * PD. Dentro desse assunto existem várias outras relações, como por exemplo relacionar produtos de tamanhos de dois segmentos secantes a uma circunferência, partindo de um ponto externo.

Muito obrigado mestre Medeiros pela resolução.