Circunferência e quadrado

Boa tarde, senhores!

Preciso de ajuda na seguinte questão:

Em um quadrado ABCD de diagonal d, uma circunferência de centro C e raio CD é desenhada. Como mostra a figura.
Seja P um ponto sobre o menor arco BD, a reta AP intercepta a circunferência em Q. Calcule o produto BPxBQ.

A questão vale para qualquer ponto sobre o arco menor BD. Para facilitar as contas vamos fazer P o ponto de encontro de AC com o arco menor BD. Neste caso AC é diagonal do quadrado e B^CP = D^CP = 45º

Trace AP e prolongue até o ponto Q no arco BD maior. Trace BP e BQ

AC = BD = d
AB = AD = BC = CD = CP = r

AB² + BC² = AC² ---> r² + r² = d² ---> 2.r² = d²

BD é lado do quadrado inscrito, logo BP é lado do octógono inscrito:

Lei cossenos em CBP ---> BP² = CB² + CP² - 2.CB.CP.cos45º ---> BP² = 2.r²(1 - √2/2) ---> BP = d.√(2 - √2)

A^CQ = 180º - A^CB ---> ACQ^= 180º - 45º ---> A^CQ = 135º ---> C^BQ = C^QB = (45/2)º
C^BP = C^PB = (180º - 45])/2 ---> C^BP = (135/2)º

P^BQ = C^PQ + C^BQ ---> P^BQ = (45/2)º + (135/2)º ---> P^BQ = 90º ---> ∆ PBQ é retângulo

PQ = 2.r ---> PQ² = 4.r² ---> PQ² = 2.d² ---> hipotenusa de PBQ

Basta agora calcular BQ ---> BQ² = PQ² - BP² ---> E finalmente calcule BP.BQ

Élcio,
neste caso a questão não vale para qualquer ponto. Enquanto P excursiona pelo menor arco BD, o ponto Q excursiona pelo maior de tal sorte que o produto pedido nunca resulta igual.

Ou a questão foi mal elaborada e está incompleta, ou há falha na transcrição do solicitado ou, por maldade, propuseram a questao pedindo uma resposta quando há várias.

Como a situação varia de acordo com a posição de P, considerei um ângulo (theta) para a inclinação de AP em função do qual podemos elaborar uma resposta. Dependendo desse ângulo vemos que a medida em que θ vai de zero a 90°, o produto pedido varia de um máximo até zero. Na figura, calculei para cinco posições interessantes de  θ, só para mostrar que o resultado é diferente.



Fica faltando alguma boa alma com capacidade matemática obter uma fórmula única para todas essas respostas possíveis.

sonado a gente não vê o obvio:

BP * BQ = d².cosθ

mas fica faltando mostrar isso adequadamente.

Senhores, muito obrigado pela ajuda.. infelizmente não possuo o gabarito dela aqui, mas agradeço demais!!