Geometria Espacial - Esfera

por Pedro Machado Dom 26 Jun 2011, 16:36

Um octaedro regular está inscrito numa esfera com volume
36π cm3. Calcule:

a) O volume do octaedro
b) A área Total do octaedro.

por **Euclides** Dom 26 Jun 2011, 18:18

$V_e=\frac{4\pi r^3}{3}\;\;\;\to\;\;r=\sqrt[3]{\frac{3V_e}{4\pi}} \;\;\to\;r=\sqrt[3]{\frac{3\times 36\pi}{4 \pi}}\rightarrow r=3\,cm$

O lado do octaedro será:

$6^2=\sqrt{L^2+L^2}\to L=3\sqrt{2\,cm}$

O volume do octaedro é igual ao volume de duas pirâmides de base quadrada de lado L e altura 3cm:

$V_p=\frac{1}{3}A_b\times h\;\;\;\to\;V_p=\frac{3\sqrt{2}\times 3}{3}\to V_p=3\sqrt{2}cm^3$

$V_{oc}=2V_p\;\;\to\;V_{oc}=6\sqrt{2}\,cm^3$

A área total do osctaedro é igual à área de 8 triângulos equiláteros de lado $L=3\sqrt{2}\,cm$