Partição - (atletas)

De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 5 atletas, denominados
Esporte, Tupi e Minas?
(b) De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 5 atletas?
(a) 756756
(b) 126126

a) Como ele ja determinou os grupos C15,5.C10,5.C5,5 , = 756756

b) C15,5.C10,5.C5,5 , porém nesse caso é preciso dividir por 3! senao como no outro exercício estaria contando repetido..
R. C15,5.C10,5.C5,5/3! = 126126

Luck escreveu:a) Como ele ja determinou os grupos C15,5.C10,5.C5,5 , = 756756

b) C15,5.C10,5.C5,5 , porém nesse caso é preciso dividir por 3! senao como no outro exercício estaria contando repetido..
R. C15,5.C10,5.C5,5/3! = 126126

Amigo , não estou entendo a divisão por 3!

Partições Ordenadas.

Consideremos um conjunto A e K subconjuntos de A não vazios A1,A2,...,AK, tais que :

I. Ai interseção com Aj= o conjunto vazio. (para i diferente de j)
II. A1 U  A2 U A3 U...U Ak=A.

Chamemos de partição ordenada de A a sequência de conjuntos :
(A1,A2,A3,...,Ak).

Com essa definição, resolveremos seu problema.
I. Teremos então um sequência do tipo (A1,A2,A3) onde cada conjunto Ai possui 5 atletas diferentes. 

II. Temos então, uma combinação de 15 pessoas , tomadas 5 a 5 no primeiro time. Escolhendo essas 5 pessoas iniciais, teremos no segundo grupo uma combinação de 10 pessoas tomados 5 a 5, logo ficamos apenas com 5 pessoas para o último grupo, ou seja, ela fica determinado.

Temos então : 756756. ( Note que nesse caso é um repartição ordenada, a  ordem é necessária aqui. Exemplo : ( a1,a2,a3) digamos que a1 é o time Esporte e o a2 Tupi, se trocarmos os elementos de a2 e a1 teremos uma forma diferente, já que mudamos os atletas).

Já no outro exercício isso não é válido,  temos apenas que dividir as pessoas em grupos. Exemplo : {a1,a2,a3} vamos supor que temos 3 pessoas no grupo a1, se trocarmos a ordem de a1 e a2 , isso altera alguma coisa ? não, continuaremos com a mesma forma de dividir. Logo para cada sequência que determinamos no primeiro exercício, ela é  permutada 3! vezes, que não faz sentido no segundo caso. Então, as possibilidades são 3! maiores do que o esperado, para acabar com a dificuldade, teremos que dividir o resultado do primeiro caso por 3!.