Logaritmos

Caros, dúvida sobre uma questão respondida em um livro:
***********************************
Resolver a equação (log (x - 1) base 2) + (log (x - 2) base 2) = 1.
Resolução dada pelo livro:
C.E. (Condição de Existência):
x - 1 > 0 ---> x > 1
x - 2 > 0 ---> x > 2

log [(x - 1).(x - 2)] base 2 = 1
(x - 1)(x - 2) = 2

x² -3x = 0
x' = 0 (Não convém)
x" = 3
Portanto V = {3}.
***********************************

Minha dúvida é quanto a definição da condição de existência excluir o zero.
Observe que:
log [(x - 1).(x - 2)] base 2 = 1 <=> log [x² - 3x + 2] base 2= 1

Assim teríamos:
x² -3x + 2 > 0
Assim x < 1 ou x > 2. Neste caso, incluindo o zero.
Entendo que não há problema com a forma segunda para x = 0, pois: log [x² - 3x + 2] base 2 = 1 <=> log [2] base 2 = 1.

Mas na forma log (x - 1) base 2 + log (x - 2) base 2 = 1 <=> log (-1) base 2 + log (-2) base 2 = 1, o que contraria a definição, pois o logaritmando é menor que zero. Até então tudo bem, mas minha preocupação é se a equação fosse apresentada como log [x² - 3x + 2] base 2 = 1, assim faria o estudo dos sinais para x² - 3x + 2 > 0 e daria a C.E. x < 1 ou x > 2.
Se o exercício fosse este último caso, como verifico que "x" não poderia assumir zero, já que este não forma sozinho o logaritmando?

Para  a condição de existência antecede a possibilidade de aplicar a propriedade.

Muito obrigado, Euclides.
Então se o exercício dado fosse o log de (x² - 3x + 2) na base 2 = 1 então o zero poderia ser uma solução, bem como o 3?
Se neste caso eu decidisse fatorar para log (x - 1)... depois de dado o exercício na forma acima, a c.e. estaria associada ao x²-3x+2>0 e portanto não haveria violação da definição (log x-1 base 2 = log -1 base 2 para x = 0), pois esta fatoração seria uma etapa posterior. Correto?

o valor nulo (zero) não satisfaria as CE de \log_2(x-1) e \log_2(x-2) pois tornaria os logaritimandos negativos.