Em quanto tempo alcançará o montante?

por Luiz 2017 Seg 19 Fev 2018, 11:27

Um investidor pretende aplicar em uma instituição financeira, que remunera com juros compostos, sob a taxa de 1,8% a.m., fazendo uma série de cinco depósitos da seguinte maneira:

1º mês: depósito de $ 5.000,00
9º mês: depósito de $ 3.000,00
14º mês: depósito de $ 12.000,00
16º mês: depósito de $ 10.000,00
25º mês: depósito de $ 7.000,00

Sabendo que os depósitos serão feitos sempre no início de cada mês, em quantos meses, contados a partir do primeiro depósito, alcançará um montante de 55.750,60?

R: 36

por **jota-r** Seg 19 Fev 2018, 19:04

Luiz 2017 escreveu:

Um investidor pretende aplicar em uma instituição financeira, que remunera com juros compostos, sob a taxa de 1,8% a.m., fazendo uma série de cinco depósitos da seguinte maneira:

1º mês: depósito de $ 5.000,00
9º mês: depósito de $ 3.000,00
14º mês: depósito de $ 12.000,00
16º mês: depósito de $ 10.000,00
25º mês: depósito de $ 7.000,00

Sabendo que os depósitos serão feitos sempre no início de cada mês, em quantos meses, contados a partir do primeiro depósito, alcançará um montante de 55.750,60?

R: 36

Olá.

Dados:

1º mês: depósito de $ 5.000,00; n1 = n
9º mês: depósito de $ 3.000,00; n2 = n - 8
14º mês: depósito de $ 12.000,00; n3 = n - 13
16º mês: depósito de $ 10.000,00; n4 = n - 15
25º mês: depósito de $ 7.000,00; n5 = n - 24

Os depósitos formam uma série de termos totalmente variáveis, não existindo, portanto, fórmula para a resolução. A saída, pois, é aplicar a soma de tantas equações de valor quantos forem os depósitos efetuados, conforme segue:

Chamando de n o número de meses necessários para que os depósitos atinjam o montante de $ 55.750,60, temos, pelo princípio de equivalência de capitais, a seguinte equação de valor:

55750,60 = 5000*1,018^n + 3000*1,018^(n- Cool

+ 12000*1,018^(n-13) + 10000*1,018^(n-15) + 7000*1,018^(n-24)

Dividindo os 2 membros por 1000 e efetuando as contas, vem:

55,75060 = 5*1,018^n + 3*1,018^(n- Cool

+ 12*1,018^(n-13) + 10*1,018^(n-15) + 7*1,018^(n-24)

Calculando separadamente cada termo, temos:

5*1,018^n = 5*1,018^n
3*[1,018^n/1,018^8] = 3/1,018^8*1,018^n = 2,60099*1,018^n
12*[1,018^n/1,018^13] = 12/1,018^13*1,018^n = 9,51612*1,018^n
10*[1,018^n/1,018^15] = 10/1,018^15*1,018^n = 7,65215*1,018^n
7*[1,018^n/1,018^24] = 7/1,018^24*1,018 = 4,56196*1,018^n

Agrupando novamente os termos, a equação de valor fica assim:

55,75060 = 5*1,018^n + 2,60099*1,018^n + 9,51612*1,018^n + 7,65215*1,018^n + 4,56196*1,018^n

Pondo 1,018^n em evidência, temos:

55,75060 = 1,018^n*[5 + 2,60099 + 9,51612 + 7,65215^n + 4,56196]
---->
55,75060 = 1,018^n*29,33122
---->
1,018^n= 55,75060/29,33122
---->
1,018^n= 1,90073
---->
n = log 1,90073 / log 1,018
---->
n = 36 meses

Um abraço

por **jota-r** Ter 20 Fev 2018, 11:24

jota-r escreveu:
Luiz 2017 escreveu:

Um investidor pretende aplicar em uma instituição financeira, que remunera com juros compostos, sob a taxa de 1,8% a.m., fazendo uma série de cinco depósitos da seguinte maneira:

1º mês: depósito de $ 5.000,00
9º mês: depósito de $ 3.000,00
14º mês: depósito de $ 12.000,00
16º mês: depósito de $ 10.000,00
25º mês: depósito de $ 7.000,00

Sabendo que os depósitos serão feitos sempre no início de cada mês, em quantos meses, contados a partir do primeiro depósito, alcançará um montante de 55.750,60?

R: 36

Olá.

Deletei este post porque continha impropriedades.

Um abraço.

por Luiz 2017 Ter 20 Fev 2018, 11:50

jota-r escreveu:... ... ...
Logo, o gabarito está errado.

Um abraço.

O gabarito está correto. Veja este exercício: https://pir2.forumeiros.com/t144916-qual-sera-o-saldo-no-final-do-36-mes#510542

por **jota-r** Ter 20 Fev 2018, 13:26

Luiz 2017 escreveu:
jota-r escreveu:... ... ...
Logo, o gabarito está errado.

Um abraço.

O gabarito está correto. Veja este exercício: https://pir2.forumeiros.com/t144916-qual-sera-o-saldo-no-final-do-36-mes#510542

Você está certo. Já editei minha resolução.

por Luiz 2017 Ter 20 Fev 2018, 14:18

jota-r escreveu:
Luiz 2017 escreveu:
jota-r escreveu:... ... ...
Logo, o gabarito está errado.

Um abraço.

O gabarito está correto. Veja este exercício: https://pir2.forumeiros.com/t144916-qual-sera-o-saldo-no-final-do-36-mes#510542

Insisto que está errado. A prova prova isto.

A diferença está nos expoentes dos termos:

55750,60 = 5000*1,018^n + 3000*1,018^(n-9) + 12000*1,018^(n-14) + 10000*1,018^(n-16) + 7000*1,018^(n-25)

1º termo: foi feito n-1+1 = n (este está correto).
2º termo: foi feito n-9 (faltou o +1)
3º termo: foi feito n-14 (faltou o +1)
4º termo: foi feito n-16 (faltou o +1)
5º termo: foi feito n-25 (faltou o +1)

Por isto resultado não bate com gabarito. Insisto que veja este exercício: https://pir2.forumeiros.com/t144916-qual-sera-o-saldo-no-final-do-36-mes#510542

Sds.

por Luiz 2017 Ter 20 Fev 2018, 14:37

Luiz 2017 escreveu:

Um investidor pretende aplicar em uma instituição financeira, que remunera com juros compostos, sob a taxa de 1,8% a.m., fazendo uma série de cinco depósitos da seguinte maneira:

1º mês: depósito de $ 5.000,00
9º mês: depósito de $ 3.000,00
14º mês: depósito de $ 12.000,00
16º mês: depósito de $ 10.000,00
25º mês: depósito de $ 7.000,00

Sabendo que os depósitos serão feitos sempre no início de cada mês, em quantos meses, contados a partir do primeiro depósito, alcançará um montante de 55.750,60?

R: 36

Solução:

A expressão geral da série de termos antecipados para o valor futuro sob o regime de juros compostos, no presente caso, é:

\\FV = PMT_1\cdot(1+i)^{n-n_1+1} + PMT_2\cdot(1+i)^{n-n_2+1} + PMT_3\cdot(1+i)^{n-n_3+1}\\ + PMT_4\cdot(1+i)^{n-n_4+1} + PMT_5\cdot(1+i)^{n-n_5+1}

onde:

Parcelas:
PMT₁ = valor do 1º depósito = 5000
PMT₂ = valor do 2º depósito = 3000
PMT₃ = valor do 3º depósito = 12000
PMT₄ = valor do 4º depósito = 10000
PMT₅ = valor do 5º depósito = 7000

Montante:
FV = 55750,60

Períodos:
n₁ = período onde ocorreu o 1º depósito = 1
n₂ = período onde ocorreu o 2º depósito = 9
n₃ = período onde ocorreu o 3º depósito = 14
n₄ = período onde ocorreu o 4º depósito = 16
n₅ = período onde ocorreu o 5º depósito = 25
n = ?

Taxa mensal:
i = 0,018

Substituindo valores:

\small{\\55750,60 = 5000\cdot(1+0,018)^{n-1+1} + 3000\cdot(1+0,018)^{n-9+1} + 12000\cdot(1+0,018)^{n-14+1}}
\small{ + 10000\cdot(1+0,018)^{n-16+1} + 7000\cdot(1+0,018)^{n-25+1}}

\small{\\55750,60 = 5000\cdot(1,018)^{n-0} + 3000\cdot(1,018)^{n-8} + 12000\cdot(1,018)^{n-13} + 10000\cdot(1,018)^{n-15}}
\small{+ 7000\cdot(1,018)^{n-24}}

\small{\\55750,60 = 5000\cdot\frac{1,018^n}{1,018^0} + 3000\cdot\frac{1,018^n}{1,018^8} + 12000\cdot\frac{1,018^n}{1,018^{13}}\\ + 10000\cdot\frac{1,018^n}{1,018^{15}} + 7000\cdot\frac{1,018^n}{1,018^{24}}}

Colocando 1,018ⁿ em evidência:

\small{\\55750,60 = 1,018^n \cdot\left[\frac{5000}{1,018^0} + \frac{3000}{1,018^8} + \frac{12000}{1,018^{13}} + \frac{10000}{1,018^{15}} + \frac{7000}{1,018^{24}}\right]}

\small{\\55750,60 = 1,018^n \cdot \Big[ 5000 + 2600,992086 + 9516,124867 + 7652,147452 + 4561,958897\Big]}

55750,60 = 1,018^n \cdot 29331,2233

1,900725361 = 1,018^n

n = \frac{\log{(1,900725361)}} {\log{(1,018)}}

n = 35,99991758...

Portanto (resposta):

\boxed{n \approx 36\;\text{meses.}}

por **jota-r** Ter 20 Fev 2018, 15:30

Luiz 2017 escreveu:
Luiz 2017 escreveu:

Um investidor pretende aplicar em uma instituição financeira, que remunera com juros compostos, sob a taxa de 1,8% a.m., fazendo uma série de cinco depósitos da seguinte maneira:

1º mês: depósito de $ 5.000,00
9º mês: depósito de $ 3.000,00
14º mês: depósito de $ 12.000,00
16º mês: depósito de $ 10.000,00
25º mês: depósito de $ 7.000,00

Sabendo que os depósitos serão feitos sempre no início de cada mês, em quantos meses, contados a partir do primeiro depósito, alcançará um montante de 55.750,60?

R: 36

Solução:

A expressão geral da série de termos antecipados para o valor futuro sob o regime de juros compostos, no presente caso, é:

\\FV = PMT_1\cdot(1+i)^{n-n_1+1} + PMT_2\cdot(1+i)^{n-n_2+1} + PMT_3\cdot(1+i)^{n-n_3+1}\\ + PMT_4\cdot(1+i)^{n-n_4+1} + PMT_5\cdot(1+i)^{n-n_5+1}

onde:

Parcelas:
PMT₁ = valor do 1º depósito = 5000
PMT₂ = valor do 2º depósito = 3000
PMT₃ = valor do 3º depósito = 12000
PMT₄ = valor do 4º depósito = 10000
PMT₅ = valor do 5º depósito = 7000

Montante:
FV = 55750,60

Períodos:
n₁ = período onde ocorreu o 1º depósito = 1
n₂ = período onde ocorreu o 2º depósito = 9
n₃ = período onde ocorreu o 3º depósito = 14
n₄ = período onde ocorreu o 4º depósito = 16
n₅ = período onde ocorreu o 5º depósito = 25
n = ?

Taxa mensal:
i = 0,018

Substituindo valores:

\small{\\55750,60 = 5000\cdot(1+0,018)^{n-1+1} + 3000\cdot(1+0,018)^{n-9+1} + 12000\cdot(1+0,018)^{n-14+1}}
\small{ + 10000\cdot(1+0,018)^{n-16+1} + 7000\cdot(1+0,018)^{n-25+1}}

\small{\\55750,60 = 5000\cdot(1,018)^{n-0} + 3000\cdot(1,018)^{n-8} + 12000\cdot(1,018)^{n-13} + 10000\cdot(1,018)^{n-15}}
\small{+ 7000\cdot(1,018)^{n-24}}

\small{\\55750,60 = 5000\cdot\frac{1,018^n}{1,018^0} + 3000\cdot\frac{1,018^n}{1,018^8} + 12000\cdot\frac{1,018^n}{1,018^{13}}\\ + 10000\cdot\frac{1,018^n}{1,018^{15}} + 7000\cdot\frac{1,018^n}{1,018^{24}}}

Colocando 1,018ⁿ em evidência:

\small{\\55750,60 = 1,018^n \cdot\left[\frac{5000}{1,018^0} + \frac{3000}{1,018^8} + \frac{12000}{1,018^{13}} + \frac{10000}{1,018^{15}} + \frac{7000}{1,018^{24}}\right]}

\small{\\55750,60 = 1,018^n \cdot \Big[ 5000 + 2600,992086 + 9516,124867 + 7652,147452 + 4561,958897\Big]}

55750,60 = 1,018^n \cdot 29331,2233

1,900725361 = 1,018^n

n = \frac{\log{(1,900725361)}} {\log{(1,018)}}

n = 35,99991758...

Portanto (resposta):

\boxed{n \approx 36\;\text{meses.}}

Tens razão. Considerei a série como postecipada. Minhas escusas.

por **jota-r** Ter 20 Fev 2018, 16:39

Luiz 2017 escreveu:
jota-r escreveu:
Luiz 2017 escreveu:
jota-r escreveu:... ... ...
Logo, o gabarito está errado.

Um abraço.

O gabarito está correto. Veja este exercício: https://pir2.forumeiros.com/t144916-qual-sera-o-saldo-no-final-do-36-mes#510542

Tens razão. Eu fui quem errei ao considerar a série como de termos postecipados.

A diferença está nos expoentes dos termos:

55750,60 = 5000*1,018^n + 3000*1,018^(n-9) + 12000*1,018^(n-14) + 10000*1,018^(n-16) + 7000*1,018^(n-25)

1º termo: foi feito n-1+1 = n (este está correto).
2º termo: foi feito n-9 (faltou o +1)
3º termo: foi feito n-14 (faltou o +1)
4º termo: foi feito n-16 (faltou o +1)
5º termo: foi feito n-25 (faltou o +1)

Por isto resultado não bate com gabarito. Insisto que veja este exercício: https://pir2.forumeiros.com/t144916-qual-sera-o-saldo-no-final-do-36-mes#510542

Sds.