Juros simples

Ir em baixo

Juros simples

Mensagem por jota-r em Qui Fev 08 2018, 17:50

Olá.

Durante um período de 4 anos, Maria deposita, no final de cada mês, o valor de $ 50,00, em um banco que paga a taxa de juros
simples de 2% a.m. Qual será o montante existente na conta de Maria ao final do referido periodo?

R.: $ 3.528,00


Um abraço.

jota-r
Grupo
Velhos amigos do Fórum

Grupo Velhos amigos do Fórum

Mensagens : 1589
Data de inscrição : 03/08/2009
Idade : 74
Localização : São Paulo - Capital

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: Juros simples

Mensagem por baltuilhe em Qui Fev 08 2018, 20:17

Boa noite!

Bom, são 4x12 = 48 depósitos para cada um deles render do período que depositar até o período 48 (final do 4º ano).
\\FV=50(1+47i)+50(1+46i)+\ldots+50(1+2i)+50(1+i)+50\\\\FV=50\cdot\left[\underbrace{1+1+\ldots+1+1}_{48}+i\left(47+46+\ldots+2+1\right)\right]\\\\FV=50\cdot\left[48+i\cdot\left(\dfrac{(1+47)47}{2}\right)\right]\\\\FV=50\cdot\left(48+1\,128i\right)\\\\FV=50\cdot\left(48+0,02\cdot 1\,128\right)\\\\FV=50\cdot\left(48+22,56\right)\\\\\boxed{\boxed{FV=3\,528}}

Espero ter ajudado!
avatar
baltuilhe
Jedi
Jedi

Mensagens : 359
Data de inscrição : 23/12/2015
Idade : 42
Localização : Campo Grande, MS, Brasil

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: Juros simples

Mensagem por Luiz 2017 em Qui Fev 08 2018, 23:27

@jota-r escreveu:Olá.

Durante um período de 4 anos, Maria deposita, no final de cada mês, o valor de $ 50,00, em um banco que paga a taxa de juros simples de 2% a.m. Qual será o montante existente na conta de Maria ao final do referido periodo?

R.: $ 3.528,00

Um abraço.


A equação geral do valor futuro para séries financeira uniformes de "n" parcelas "PMT", iguais, consecutivas e postecipadas, a juros compostos "i", é:

FV = PMT\cdot\Big[(1+i)^0 + (1+i)^1 + (1+i)^2 + (1+i)^3 + (1+i)^4 + ... + (1+i)^{n-1}\Big]

De modo análogo, a equação geral do valor futuro para séries financeiras uniformes de "n" parcelas "PMT", iguais, consecutivas e postecipadas, a juros simples "i", será:

\small{FV = PMT\cdot\Big[(1+0i) + (1+1i) + (1+2i) + (1+3i) + (1+4i) + ... + (1+(n-1)i)\Big]}

\frac{FV}{PMT} = \Big[1+0i + 1+1i + 1+2i + 1+3i + 1+4i + ... + 1+(n-1)i\Big]

\frac{FV}{PMT} = n + \Big[0i + 1i + 2i + 3i + 4i + ... + (n-1)i\Big]

\frac{FV}{PMT} = n + i\cdot \Big[1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1)\Big]

Os termos entre colchetes representam a soma de uma PA de N=n-1 termos com a1=1 e aN=n-1, em que:

S_N = \frac{N \cdot(a_1 + a_N)}{2} = \frac{(n-1) \cdot(1 + n-1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n^2-n}{2}

Substituindo SN na equação anterior:

\frac{FV}{PMT} = n + i\cdot \frac{n^2-n}{2}

Daí:

\boxed{FV = PMT \cdot \left[n + i\cdot \frac{n^2-n}{2}\right]}

Tem-se que:

PMT = 50,00
i = 0,02 a.m.
n = 48 meses

Substituindo valores:

FV = 50 \cdot \left[48 + 0,02\cdot \frac{48^2-48)}{2}\right]

FV = 50 \cdot \Big[48 + 22,56\Big]

FV = 50 \times 70,56

\boxed{FV = \$\;3.528,00}

jota-r, espero ter contribuído com a fórmula.

Sds.

Luiz 2017
Mestre Jedi
Mestre Jedi

Mensagens : 677
Data de inscrição : 21/05/2017
Idade : 68
Localização : Vitória, ES.

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: Juros simples

Mensagem por jota-r em Sex Fev 09 2018, 09:36

@jota-r escreveu:Olá.

Durante um período de 4 anos, Maria deposita, no final de cada mês, o valor de $ 50,00, em um banco que paga a taxa de juros
simples de 2% a.m. Qual será o montante existente na conta de Maria ao final do referido periodo?

R.: $ 3.528,00


Um abraço.
Baltuilhe e Luiz, bom dia.

Parabéns feras, pela resolução do exercício. Cada um a seu modo, mas ambos de forma brilhante. Agradeço aos dois,
particularmente ao Luiz por ter contribuído com a fórmula, que não a conhecia. Aproveito a oportunidade para também
contribuir com uma fórmula, que é simplesinha, curta e grossa. Vejam:

Dados:
n = 4 anos = 48 meses; P = 50,00; i = 2% a.m.; FV = ?

Fórmula: FV = nP/2*[2+i*(n-1]

Substituindo os dados na fórmula e resolvendo, temos:

FV = 48*50/2*[2 + 0,02*(48-1]
---->
FV = 48*50/2*[2 + 0,02*47]
---->
FV = 48*50/2*[2 + 0,94]
---->
FV = 1200*2,94
---->
FV = $ 3.528,00


Um abraço.

jota-r
Grupo
Velhos amigos do Fórum

Grupo Velhos amigos do Fórum

Mensagens : 1589
Data de inscrição : 03/08/2009
Idade : 74
Localização : São Paulo - Capital

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: Juros simples

Mensagem por Luiz 2017 em Sex Fev 09 2018, 10:03

@jota-r escreveu:
Agradeço aos dois, particularmente ao Luiz por ter contribuído com a fórmula, que não a conhecia.


Meu raciocínio é idêntico ao do Baltuilhe. Usamos a mesma ideia. Ele desenvolveu a expressão numérica e eu a expressão literal.

Como foi desenvolvida especialmente para uso no seu exercício, dou a ela o nome de "equação de jota-r".

Sds.

Luiz 2017
Mestre Jedi
Mestre Jedi

Mensagens : 677
Data de inscrição : 21/05/2017
Idade : 68
Localização : Vitória, ES.

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: Juros simples

Mensagem por Luiz 2017 em Sex Fev 09 2018, 10:11

@jota-r escreveu: Aproveito a oportunidade para também contribuir com uma fórmula, que é simplesinha, curta e grossa. Vejam:

Dados:
n = 4 anos = 48 meses; P = 50,00; i = 2% a.m.; FV = ?

Fórmula: FV = nP/2*[2+i*(n-1)]


Muito bacaninha. Como a deduziu?

Sds.

Luiz 2017
Mestre Jedi
Mestre Jedi

Mensagens : 677
Data de inscrição : 21/05/2017
Idade : 68
Localização : Vitória, ES.

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: Juros simples

Mensagem por jota-r em Sex Fev 09 2018, 10:46

@Luiz 2017 escreveu:
@jota-r escreveu:
Agradeço aos dois, particularmente ao Luiz por ter contribuído com a fórmula, que não a conhecia.


Meu raciocínio é idêntico ao do Baltuilhe. Usamos a mesma ideia. Ele desenvolveu a expressão numérica e eu a expressão literal.

Como foi desenvolvida especialmente para uso no seu exercício, dou a ela o nome de "equação de jota-r".

Sds.
Obrigado Luiz, pela homenagem.

Sds.

jota-r
Grupo
Velhos amigos do Fórum

Grupo Velhos amigos do Fórum

Mensagens : 1589
Data de inscrição : 03/08/2009
Idade : 74
Localização : São Paulo - Capital

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: Juros simples

Mensagem por jota-r em Sex Fev 09 2018, 10:50

@Luiz 2017 escreveu:
@jota-r escreveu: Aproveito a oportunidade para também contribuir com uma fórmula, que é simplesinha, curta e grossa. Vejam:

Dados:
n = 4 anos = 48 meses; P = 50,00; i = 2% a.m.; FV = ?

Fórmula: FV = nP/2*[2+i*(n-1)]


Muito bacaninha. Como a deduziu?

Sds.
Pra falar a verdade, não fui eu quem deduziu a fórmula. Retirei pronta de um livro de matemática.

Sds.

jota-r
Grupo
Velhos amigos do Fórum

Grupo Velhos amigos do Fórum

Mensagens : 1589
Data de inscrição : 03/08/2009
Idade : 74
Localização : São Paulo - Capital

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: Juros simples

Mensagem por baltuilhe em Dom Fev 11 2018, 19:22

Boa tarde!

A fórmula que o Luiz utilizou é a mesma que vc utilizou, Jota-r, a menos de termos colocados em evidência.
Veja:
\\FV = PMT \cdot \left[ n + i \cdot \left( \dfrac{ n^2 - n }{ 2 } \right) \right]\\\\FV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ 2n + i \cdot \left( n^2 - n \right) }{ 2 } \right]\\\\FV = PMT \cdot \left( \dfrac{ 2n + in^2 - in }{ 2 } \right)\\\\FV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ n \cdot \left( 2 + in - i \right) }{ 2 } \right]\\\\\boxed{ FV = \dfrac{ n \cdot PMT }{ 2 } \cdot \left[ 2 + i \cdot \left( n - 1 \right) \right] }

Concordam? Very Happy
avatar
baltuilhe
Jedi
Jedi

Mensagens : 359
Data de inscrição : 23/12/2015
Idade : 42
Localização : Campo Grande, MS, Brasil

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: Juros simples

Mensagem por Luiz 2017 em Dom Fev 11 2018, 19:26

@baltuilhe escreveu:Boa tarde!

A fórmula que o Luiz utilizou é a mesma que vc utilizou, Jota-r, a menos de termos colocados em evidência.
Veja:
\\FV = PMT \cdot \left[ n + i \cdot \left( \dfrac{ n^2 - n }{ 2 } \right) \right]\\\\FV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ 2n + i \cdot \left( n^2 - n \right) }{ 2 } \right]\\\\FV = PMT \cdot \left( \dfrac{ 2n + in^2 - in }{ 2 } \right)\\\\FV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ n \cdot \left( 2 + in - i \right) }{ 2 } \right]\\\\\boxed{ FV = \dfrac{ n \cdot PMT }{ 2 } \cdot \left[ 2 + i \cdot \left( n - 1 \right) \right] }

Concordam? Very Happy


Só que não tirei de nenhum livro. O texto mostra a dedução.

Sds.

Luiz 2017
Mestre Jedi
Mestre Jedi

Mensagens : 677
Data de inscrição : 21/05/2017
Idade : 68
Localização : Vitória, ES.

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: Juros simples

Mensagem por baltuilhe em Dom Fev 11 2018, 20:00

@Luiz 2017 escreveu:
@baltuilhe escreveu:Boa tarde!

A fórmula que o Luiz utilizou é a mesma que vc utilizou, Jota-r, a menos de termos colocados em evidência.
Veja:
\\FV = PMT \cdot \left[ n + i \cdot \left( \dfrac{ n^2 - n }{ 2 } \right) \right]\\\\FV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ 2n + i \cdot \left( n^2 - n \right) }{ 2 } \right]\\\\FV = PMT \cdot \left( \dfrac{ 2n + in^2 - in }{ 2 } \right)\\\\FV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ n \cdot \left( 2 + in - i \right) }{ 2 } \right]\\\\\boxed{ FV = \dfrac{ n \cdot PMT }{ 2 } \cdot \left[ 2 + i \cdot \left( n - 1 \right) \right] }

Concordam? Very Happy


Só que não tirei de nenhum livro. O texto mostra a dedução.

Sds.

Não disse isso, Luiz! Só mostrei que são a mesma fórmula!

Abraços!
avatar
baltuilhe
Jedi
Jedi

Mensagens : 359
Data de inscrição : 23/12/2015
Idade : 42
Localização : Campo Grande, MS, Brasil

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: Juros simples

Mensagem por Luiz 2017 em Dom Fev 11 2018, 20:45

@baltuilhe escreveu:
Não disse isso, Luiz! Só mostrei que são a mesma fórmula!

Abraços!


Valeu Baituilhe.

A propósito, jota-r, de qual livro você tirou esta fórmula? Se puder informe título e autor.

Grato.

Luiz 2017
Mestre Jedi
Mestre Jedi

Mensagens : 677
Data de inscrição : 21/05/2017
Idade : 68
Localização : Vitória, ES.

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: Juros simples

Mensagem por jota-r em Seg Fev 12 2018, 16:58

@baltuilhe escreveu:Boa tarde!

A fórmula que o Luiz utilizou é a mesma que vc utilizou, Jota-r, a menos de termos colocados em evidência.
Veja:
\\FV = PMT \cdot \left[ n + i \cdot \left( \dfrac{ n^2 - n }{ 2 } \right) \right]\\\\FV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ 2n + i \cdot \left( n^2 - n \right) }{ 2 } \right]\\\\FV = PMT \cdot \left( \dfrac{ 2n + in^2 - in }{ 2 } \right)\\\\FV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ n \cdot \left( 2 + in - i \right) }{ 2 } \right]\\\\\boxed{ FV = \dfrac{ n \cdot PMT }{ 2 } \cdot \left[ 2 + i \cdot \left( n - 1 \right) \right] }

Concordam? Very Happy
Boa tarde, Bautuilhe.

Eu concordo, já o Luiz parece que não (vide post seguinte).

Um abraço.

jota-r
Grupo
Velhos amigos do Fórum

Grupo Velhos amigos do Fórum

Mensagens : 1589
Data de inscrição : 03/08/2009
Idade : 74
Localização : São Paulo - Capital

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: Juros simples

Mensagem por Luiz 2017 em Seg Fev 12 2018, 17:09

@jota-r escreveu:
Boa tarde, Bautuilhe.

Eu concordo, já o Luiz parece que não (vide post seguinte).

Um abraço.


É a mesma porém com dedução independente.

Sds.

Luiz 2017
Mestre Jedi
Mestre Jedi

Mensagens : 677
Data de inscrição : 21/05/2017
Idade : 68
Localização : Vitória, ES.

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: Juros simples

Mensagem por Luiz 2017 em Ter Fev 13 2018, 23:47

@Luiz 2017 escreveu:
@jota-r escreveu:Olá.

Durante um período de 4 anos, Maria deposita, no final de cada mês, o valor de $ 50,00, em um banco que paga a taxa de juros simples de 2% a.m. Qual será o montante existente na conta de Maria ao final do referido periodo?

R.: $ 3.528,00

Um abraço.


A equação geral do valor futuro para séries financeira uniformes de "n" parcelas "PMT", iguais, consecutivas e postecipadas, a juros compostos "i", é:

FV = PMT\cdot\Big[(1+i)^0 + (1+i)^1 + (1+i)^2 + (1+i)^3 + (1+i)^4 + ... + (1+i)^{n-1}\Big]

De modo análogo, a equação geral do valor futuro para séries financeiras uniformes de "n" parcelas "PMT", iguais, consecutivas e postecipadas, a juros simples "i", será:

\small{FV = PMT\cdot\Big[(1+0i) + (1+1i) + (1+2i) + (1+3i) + (1+4i) + ... + (1+(n-1)i)\Big]}

\frac{FV}{PMT} = \Big[1+0i + 1+1i + 1+2i + 1+3i + 1+4i + ... + 1+(n-1)i\Big]

\frac{FV}{PMT} = n + \Big[0i + 1i + 2i + 3i + 4i + ... + (n-1)i\Big]

\frac{FV}{PMT} = n + i\cdot \Big[1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1)\Big]

Os termos entre colchetes representam a soma de uma PA de N=n-1 termos com a1=1 e aN=n-1, em que:

S_N = \frac{N \cdot(a_1 + a_N)}{2} = \frac{(n-1) \cdot(1 + n-1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n^2-n}{2}

Substituindo SN na equação anterior:

\frac{FV}{PMT} = n + i\cdot \frac{n^2-n}{2}

Daí:

\boxed{FV = PMT \cdot \left[n + i\cdot \frac{n^2-n}{2}\right]}

Tem-se que:

PMT = 50,00
i = 0,02 a.m.
n = 48 meses

Substituindo valores:

FV = 50 \cdot \left[48 + 0,02\cdot \frac{48^2-48)}{2}\right]

FV = 50 \cdot \Big[48 + 22,56\Big]

FV = 50 \times 70,56

\boxed{FV = \$\;3.528,00}

jota-r, espero ter contribuído com a fórmula.

Sds.



Outra maneira de solucionar este exercício, de acordo com o método mostrado aqui: https://pir2.forumeiros.com/t144839-uso-do-wolfram-alpha-na-resolucao-de-juros#510036

Foi mostrado anteriormente que a equação geral do valor futuro para séries financeiras uniformes de "n" parcelas "PMT", iguais, consecutivas e postecipadas, a juros simples "i", é:

FV = PMT\cdot\Big[(1+0i) + (1+1i) + (1+2i) + (1+3i) + ... + (1+(n-1)i)\Big]

Para os termos entre colchetes tem-se a seguinte identidade:

(1+01)+(1+1r)+(1+2r)+(1+3r)+(1+4r)...+(1+(n-1)r) = \sum_{k=0}^{n-1}\;(1+kr)

sendo:

sum (1+kr), k, 0, n-1

onde:

n = 48
r = 0.02

Substituindo valores:

sum (1 + 0.02*k), k, 0, 47

Levando este comando ao Wolfram-Alpha, obtém-se:

\sum_{k=0}^{n-1}\;(1+kr) = 70,56

(confira aqui http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+(1+%2B+0.02*k),+k,+0,+47 )

Levando este valor na primeira equação acima:

FV = 50\cdot 70,56

\boxed{FV = \$\;3.528,00}


Luiz 2017
Mestre Jedi
Mestre Jedi

Mensagens : 677
Data de inscrição : 21/05/2017
Idade : 68
Localização : Vitória, ES.

Voltar ao Topo Ir em baixo

Re: Juros simples

Mensagem por Conteúdo patrocinado


Conteúdo patrocinado


Voltar ao Topo Ir em baixo

Voltar ao Topo

- Tópicos similares

 
Permissão deste fórum:
Você não pode responder aos tópicos neste fórum