Juros simples

Luiz 2017 escreveu:

baltuilhe escreveu:Boa tarde!

A fórmula que o Luiz utilizou é a mesma que vc utilizou, Jota-r, a menos de termos colocados em evidência.
Veja:
\\FV = PMT \cdot \left[ n + i \cdot \left( \dfrac{ n^2 - n }{ 2 } \right) \right]\\\\FV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ 2n + i \cdot \left( n^2 - n \right) }{ 2 } \right]\\\\FV = PMT \cdot \left( \dfrac{ 2n + in^2 - in }{ 2 } \right)\\\\FV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ n \cdot \left( 2 + in - i \right) }{ 2 } \right]\\\\\boxed{ FV = \dfrac{ n \cdot PMT }{ 2 } \cdot \left[ 2 + i \cdot \left( n - 1 \right) \right] }

Concordam?

Só que não tirei de nenhum livro. O texto mostra a dedução.

Sds.

baltuilhe escreveu:
Não disse isso, Luiz! Só mostrei que são a mesma fórmula!

Abraços!

baltuilhe escreveu:Boa tarde!

A fórmula que o Luiz utilizou é a mesma que vc utilizou, Jota-r, a menos de termos colocados em evidência.
Veja:
\\FV = PMT \cdot \left[ n + i \cdot \left( \dfrac{ n^2 - n }{ 2 } \right) \right]\\\\FV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ 2n + i \cdot \left( n^2 - n \right) }{ 2 } \right]\\\\FV = PMT \cdot \left( \dfrac{ 2n + in^2 - in }{ 2 } \right)\\\\FV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ n \cdot \left( 2 + in - i \right) }{ 2 } \right]\\\\\boxed{ FV = \dfrac{ n \cdot PMT }{ 2 } \cdot \left[ 2 + i \cdot \left( n - 1 \right) \right] }

Concordam?

jota-r escreveu:
Boa tarde, Bautuilhe.

Eu concordo, já o Luiz parece que não (vide post seguinte).

Um abraço.

Luiz 2017 escreveu:

jota-r escreveu:Olá.

Durante um período de 4 anos, Maria deposita, no final de cada mês, o valor de $ 50,00, em um banco que paga a taxa de juros simples de 2% a.m. Qual será o montante existente na conta de Maria ao final do referido periodo?

R.: $ 3.528,00

Um abraço.

A equação geral do valor futuro para séries financeira uniformes de "n" parcelas "PMT", iguais, consecutivas e postecipadas, a juros compostos "i", é:

FV = PMT\cdot\Big[(1+i)^0 + (1+i)^1 + (1+i)^2 + (1+i)^3 + (1+i)^4 + ... + (1+i)^{n-1}\Big]

De modo análogo, a equação geral do valor futuro para séries financeiras uniformes de "n" parcelas "PMT", iguais, consecutivas e postecipadas, a juros simples "i", será:

\small{FV = PMT\cdot\Big[(1+0i) + (1+1i) + (1+2i) + (1+3i) + (1+4i) + ... + (1+(n-1)i)\Big]}

\frac{FV}{PMT} = \Big[1+0i + 1+1i + 1+2i + 1+3i + 1+4i + ... + 1+(n-1)i\Big]

\frac{FV}{PMT} = n + \Big[0i + 1i + 2i + 3i + 4i + ... + (n-1)i\Big]

\frac{FV}{PMT} = n + i\cdot \Big[1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1)\Big]

Os termos entre colchetes representam a soma de uma PA de N=n-1 termos com a₁=1 e a_N=n-1, em que:

S_N = \frac{N \cdot(a_1 + a_N)}{2} = \frac{(n-1) \cdot(1 + n-1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n^2-n}{2}

Substituindo S_N na equação anterior:

\frac{FV}{PMT} = n + i\cdot \frac{n^2-n}{2}

Daí:

\boxed{FV = PMT \cdot \left[n + i\cdot \frac{n^2-n}{2}\right]}

Tem-se que:

PMT = 50,00
i = 0,02 a.m.
n = 48 meses

Substituindo valores:

FV = 50 \cdot \left[48 + 0,02\cdot \frac{48^2-48)}{2}\right]

FV = 50 \cdot \Big[48 + 22,56\Big]

FV = 50 \times 70,56

\boxed{FV = \$\;3.528,00}

jota-r, espero ter contribuído com a fórmula.

Sds.